\section{运算放大器基础}

\subsection{理想运算放大器电路分析}

\subsubsection{基本电路结构}

理想运算放大器组成的基本电路结构主要有同相放大器、反相放大器，如图 \ref{fig:基本理想运放电路结构} 所示
\begin{align*}
    &\text{同相放大器} & V_{\rm out} &= \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) V_{\rm in} &
    &R_{\rm in} = \infty \\
    &\text{反相放大器} & V_{\rm out} &= -\frac{R_2}{R_1} V_{\rm in} & 
    &R_{\rm in} = R_1
\end{align*}
反相放大器的输入电阻不为 $\infty$，因此输入源非理想时将存在加载效应

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \ffigbox[\FBwidth]{
        \begin{subfloatrow}
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{同相放大器}}{
                \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/同相放大器.pdf}
                \label{fig:理想同相放大器电路}
            }
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{反相放大器}}{
                \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/反相放大器.pdf}
                \label{fig:理想反相放大器电路}
            }
        \end{subfloatrow}
    }{
    \caption{基本理想运放电路结构}
    \label{fig:基本理想运放电路结构}
    }
\end{figure}


\subsubsection{求和放大器}

反相放大器负输入端电压被钳制为0 V，连接到此节点的多个信号源不会互相干扰\\
$V_{\rm out}$ 由反馈支路上的电流决定，只要对此节点输入多股电流，即可实现求和
$$
v_{\rm o} = -\left(\frac{R_{\rm F}}{R_1}v_1 + \frac{R_{\rm F}}{R_2}v_2 + \frac{R_{\rm F}}{R_3}v_3 \right)
$$
求和放大器各输入电阻均不是$\infty$，在输入源非理想时将存在加载效应

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/求和放大器.pdf}
    \caption{求和放大器}
    \label{fig:求和放大器}
\end{figure}

求和放大器中令一输入为某直流电平可以实现输出端加直流偏置，如图 \ref{fig:输出有偏置的反相放大器} 中输出端有$+2.5 {\;\rm V}$ 偏置

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/输出有偏置的反相放大器.pdf}
    \caption{输出有偏置的反相放大器}
    \label{fig:输出有偏置的反相放大器}
\end{figure}

\subsubsection{差分放大器}

同时在采用同相输入与反相输入，利用叠加原理就可得到两电压相减，如图 \ref{fig:差分放大器} 所示
$$
v_{\rm o} = \frac{R_2}{R_1} \left(\frac{1+R_1/R_2}{1+R_3/R_4} v_2 - v_1\right)
$$
通常使两对电阻成比例，即 $R_1/R_2 = R_3/R_4$，这时形成平衡电桥，输出正比于两输入电压之差
$$
\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4} 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
v_{\rm o} = \frac{R_2}{R_1} (v_2 - v_1)
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/差分放大器.pdf}
    \caption{差分放大器}
    \label{fig:差分放大器}
\end{figure}

差分放大器的输入电阻不为$\infty$，且两输入端的输入电阻互不相同
\begin{align*}
&R_{\rm i1} = R_1 & 
&R_{\rm i2} = R_3 + R_4
\end{align*}

\subsubsection{微分器}

利用反相放大器的特性及电容由$V$到$I$的微分特性，可以构造图 \ref{fig:微分器} 所示微分器电路
\begin{enum}
    \item 用电容将电压信号转化为电流信号，并提供微分作用
    \item 用电阻将电流信号转化为电压信号
    \item 由于运放钳制负输入端电压为0 V，上述两部分是解耦的
\end{enum}
$$
v_{\rm o}(t) = - RC \frac{\d v_1(t)}{\d t}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/微分器.pdf}
    \caption{微分器}
    \label{fig:微分器}
\end{figure}

上述微分器电路具有振荡性问题，其稳定性问题源于开环增益随频率升高而降低\\
用一合适大小的电阻 $R_{\rm S}$ 与 $C$ 串联通常可使该电路稳定，但此时仅能在一定的频率范围内提供微分作用

\subsubsection{积分器}
利用反相放大器的特性及电容由$I$到$V$的积分特性，可以构造图 \ref{fig:微分器} 所示积分器电路
\begin{enum}
    \item 用电阻将电压信号转化为电流信号
    \item 用电容将电流信号转化为电压信号，并提供积分作用
    \item 由于运放钳制负输入端电压为0 V，上述两部分是解耦的
\end{enum}
$$
v_{\rm o}(t) = -\frac{1}{RC} \int_{0}^t v_1(\tau) \d\tau + v_{\rm o}(0)
$$
积分器的输入电阻 $R_{\rm i} = R$ 为有限值

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/积分器.pdf}
    \caption{积分器}
    \label{fig:积分器}
\end{figure}

上述积分器电路容易使输出饱和到 $V_{\rm DD}$ 或 $V_{\rm SS}$ 附近，这是由运放的输入失调电压引起的\\
可以在 $C$ 上并联一合适大小的电阻 $R_{\rm p}$ 构成有损积分器，此时仅能在一定的频率范围内提供积分作用\\
很多时候积分器位于某一反馈环路内部，反馈作用就可阻止积分器饱和，此时不需要补偿电阻

\subsubsection{负阻转换器}

负阻转换器的原理可用图 \ref{fig:负阻转换器} 表示
\begin{enum}
\item 当电阻一端接信号源$v$，另一端接地，则 $R_{\rm eq} = R > 0$
\item 当电阻一段接信号源$v$，另一端接同相放大后的信号$Av$，则形成负电阻
\end{enum}

对图 \ref{fig:负阻转换器} 右所示负阻转换器的等效电阻如下，注意同相放大器增益越大负阻绝对值越小
$$
R_{\rm eq} = - \frac{R_1}{R_2} R
$$
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/负阻放大器.pdf}
    \caption{负阻转换器}
    \label{fig:负阻转换器}
\end{figure}

\subsection{负反馈}

负反馈系统的基本结构如图 \ref{fig:负反馈基本结构} 所示
\begin{enum}
\item 误差放大器 $x_{\rm o} = a_{\rm \varepsilon} x_{\rm \varepsilon}$
\item 反馈网络 $x_{\rm f} = bx_{\rm o}$
\item 求和网络，产生误差信号 $x_{\rm \varepsilon} = x_{\rm i} - x_{\rm f}$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/负反馈框图.pdf}
    \caption{负反馈基本结构}
    \label{fig:负反馈基本结构}
\end{figure}

负反馈系统常用公式：环路增益、理想闭环增益、实际闭环增益
\begin{align*}
    &L = a_{\rm \varepsilon} b &
    &A_{\rm ideal} = \frac{1}{b} &
    &A = A_{\rm ideal} \cdot \frac{1}{1+1/L}
\end{align*}
误差信号、反馈信号（闭环情况下）
\begin{align*}
    &x_{\rm \varepsilon} = \frac{x_{\rm i}}{1 + L} &
    &x_{\rm f} = \frac{x_{\rm i}}{1+1/L}
\end{align*}

负反馈的作用
\begin{enum}
    \item 降低对开环增益的敏感度
        $$
        A = \frac{a_{\varepsilon}}{1+a_{\varepsilon}b} 
        \qquad\Longrightarrow\qquad 
        \frac{\d A}{A} = \frac{1}{1+L} \frac{\d a_{\rm \varepsilon}}{a_{\rm \varepsilon}}
        $$
    \item 抑制非线性失真
    \item 抑制反馈环路内引入的噪声：噪声受到从输入端到噪声引入点之间所具有的前向增益的衰减，如图 \ref{fig:负反馈对噪声的作用} 所示
        $$
        x_{\rm o} = \frac{1}{b} \frac{a_{\varepsilon1}a_{\varepsilon2}b}{1+a_{\varepsilon1}a_{\varepsilon2}b}
        \left(x_{\rm i} + x_1 + \frac{x_2}{a_{\varepsilon1}} + \frac{x_3}{a_{\varepsilon1}a_{\varepsilon2}}\right)
        $$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/负反馈对噪声的作用.pdf}
    \caption{负反馈对噪声的作用}
    \label{fig:负反馈对噪声的作用}
\end{figure}

\subsection{运放电路的反馈分析}

将运放电路抽象为前向通路、反馈网络两部分，且两者均只能单向传播信号，同时假设$r_{\rm d}=\infty$ 且 $r_{\rm o} = 0$

反馈分析法的步骤
\begin{enum}
    \item 识别反馈的拓扑结构（4种基本拓扑结构如图 \ref{fig:串联并联反馈与并联并联反馈},\ref{fig:串联串联反馈与并联串联反馈} 所示）
    \item 将输入端看到的反馈网络与输出端看到的反馈网络分离，用理想受控源传递反馈信号（反馈网络是单向的）
    \item 计算前向增益 $a_{\varepsilon}$，反馈系数 $b$，环路增益 $L=a_{\varepsilon} b$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/串联并联反馈与并联并联反馈.pdf}
    \caption{串联并联反馈、并联并联反馈}
    \label{fig:串联并联反馈与并联并联反馈}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/串联串联反馈与并联串联反馈.pdf}
    \caption{串联串联反馈、并联串联反馈}
    \label{fig:串联串联反馈与并联串联反馈}
\end{figure}

%\subsubsection{串联并联反馈分析}

\subsection{返回比与布莱克曼公式}

\subsubsection{返回比分析法}

由于反馈网络是双向的，输入信号可以通过反馈网络传递到输出端，称为馈通（Feed through）\\
此时通常必须考虑运放的输入输出电阻 $r_{\rm d}, r_{\rm o}$，这使环路增益有所改变，称为返回比\\
围绕以上两点构建起对电路增益的返回比分析法

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/同相放大器及其馈通.pdf}
    \caption{同相放大器的馈通}
    \label{fig:同相放大器的馈通}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/反相放大器的馈通.pdf}
    \caption{反相放大器的馈通}
    \label{fig:反相放大器的馈通}
\end{figure}

定义馈通增益 $a_{\rm ft}$ 是仅考虑反馈网络馈通时的前向增益，此时令运放增益 $a=0$
\begin{enum}
    \item $a_{\rm ft}$ 与 $r_{\rm o}$ 正相关，当 $r_{\rm o}$ 极小时馈通效应几乎完全被运放输出端吸收
    \item 同相放大器中馈通从 $r_{\rm d}$ 引入，反相放大器中馈通从 $R_1$ 引入\\
          由于 $r_{\rm d} \gg R_1$，同相放大器的$a_{\rm ft}$ 远小于反相放大器
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/考虑馈通的负反馈系统.pdf}
    \caption{考虑馈通的负反馈系统}
    \label{fig:考虑馈通的负反馈系统}
\end{figure}

考虑馈通时的增益计算
\begin{align*}
    &A = \frac{A_{\rm ideal}}{1+1/T} + \frac{a_{\rm ft}}{1+T} \\
    &A_{\rm ideal} = \lim_{a\to\infty} \frac{v_{\rm o}}{v_{\rm i}} \\
    &a_{\rm ft} = \lim_{a\to 0} \frac{v_{\rm o}}{v_{\rm i}}
\end{align*}
其中 $T$ 称为返回比（return ratio loop gain），也称双端口环路增益（two-port loop gain）\\
在运放满足 $r_{\rm d} = \infty$ 且 $r_{\rm o} = 0$ 时返回比 $T$ 与普通环路增益 $L$ 相等，一般来说 $T$ 略小于 $L$

返回比 $T$ 的计算方法与 $L$ 基本相同，只是要考虑 $r_{\rm d}$ 与 $r_{\rm o}$
\begin{enum}
    \item 输入信号源置零
    \item 从运放输出端断开环路，加测试源 $v_{\rm t}$
    \item 信号沿环路传播一周后回到运放输出端，输出电压为 $v_{\rm o}$
    $$
    T = -\frac{v_{\rm o}}{v_{\rm t}}
    $$
\end{enum}

用图 \ref{fig:返回比分析示例} 所示同相放大器电路来说明返回比分析法\\
首先用中图计算返回比，只需使用电阻分压公式
$$
T = \frac{R_{\rm L} \parallel [R_2 + R_1 \parallel (R_{\rm S}+r_{\rm d})]}
{r_{\rm o} + R_{\rm L} \parallel [R_2 + R_1 \parallel (R_{\rm S}+r_{\rm d})]}
\times \frac{R_1 \parallel (R_{\rm S}+r_{\rm d})}{R_2 + R_1 \parallel (R_{\rm S}+r_{\rm d})}
\times \frac{r_{\rm d}}{R_{\rm S} + r_{\rm d}}
\times a
$$
再用右图计算馈通增益，同样使用电阻分压公式
$$
a_{\rm ft} 
= \frac{R_1 \parallel (R_2 + r_{\rm o}\parallel R_{\rm L})}
{r_{\rm d} + R_{\rm S} + R_1 \parallel (R_2 + r_{\rm o}\parallel R_{\rm L})}
\times \frac{r_{\rm o}\parallel R_{\rm L}}{R_2 + r_{\rm o}\parallel R_{\rm L}}
$$
最终按下式计算闭环增益，其中 $A_{\rm ideal} = 1 + R_2/R_1$
\begin{align*}
    A = \frac{A_{\rm ideal}}{1+1/T} + \frac{a_{\rm ft}}{1+T} 
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/返回比分析示例.pdf}
    \caption{返回比分析示例}
    \label{fig:返回比分析示例}
\end{figure}

\subsubsection{布莱克曼电阻公式}

应用返回比分析法时，可利用布莱克曼公式计算负反馈电路中任意两结点组成的端口的电阻\\
对任何拓扑结构，布莱克曼电阻公式均适用
\begin{align*}
    &R = r_{0} \cdot \frac{1+T_{\rm sc}}{1+T_{\rm oc}} &
    &r_0 = \lim_{a\to 0} R
\end{align*}
$r_0$ 是令运放增益 $a=0$ 时计算的端口电阻\\
$T_{\rm sc}$ 是令端口短接时计算的返回比，当 $T_{\rm sc}=0$ 时说明是并联拓扑\\
$T_{\rm oc}$ 是令端口开路时计算的返回比，当 $T_{\rm oc}=0$ 时说明是串联拓扑

\paragraph{示例}

仍以同相放大器电路为例来说明布莱克曼公式，如图 \ref{fig:用布莱克曼公式计算输入电阻},\ref{fig:用布莱克曼公式计算输出电阻} 所示

首先计算输入端口的电阻，此时不应考虑输入源内阻 $R_{\rm S}$\\
$T_{\rm oc}=0$ 因为此时 $r_{\rm d}$ 上无电流无压降\\
$T_{\rm sc}$ 计算过程与返回比分析时$T$的计算步骤一致，但表达式不同，因为此时相当于 $R_{\rm S} = 0$
$$
\begin{aligned}
&T_{\rm sc} = \frac{R_{\rm L} \parallel [R_2 + R_1 \parallel r_{\rm d}]}
{r_{\rm o} + R_{\rm L} \parallel [R_2 + R_1 \parallel r_{\rm d}]}
\times \frac{R_1 \parallel r_{\rm d}}{R_2 + R_1 \parallel r_{\rm d}}
\times a \\
&r_{\rm i0} = r_{\rm d} + R_1 \parallel [R_2 + (r_{\rm o} \parallel R_{\rm L})] \\
&R_{\rm i} = r_{\rm i0} \cdot (1+T_{\rm sc})
\end{aligned}
$$

%\begin{quote}
%    {\color{red} 这里 $r_{\rm i0}$ 与书上计算结果不同，有疑问}
%\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/Blackman公式示例1.pdf}
    \caption{用布莱克曼公式计算输入电阻}
    \label{fig:用布莱克曼公式计算输入电阻}
\end{figure}

再计算输出端口的电阻，此时不应考虑负载电阻 $R_{\rm L}$
$$
\begin{aligned}
    &T_{\rm sc} = 0 \\
    &T_{\rm oc} = \frac{R_1 \parallel (r_{\rm d} + R_{\rm S})}{r_{\rm o} + R_2 + R_1 \parallel (r_{\rm d} + R_{\rm S})}
                  \times \frac{r_{\rm d}}{R_{\rm S} + r_{\rm d}} \times a\\
    &r_{\rm o0} = r_{\rm o} \parallel [R_2 + R_1 \parallel (r_{\rm d} + R_{\rm S})] \\
    &R_{\rm o}  = \frac{r_{\rm o0}}{1+T_{\rm oc}}
\end{aligned}
$$

%\begin{quote}
%    {\color{red} 这里 $T_{\rm oc}$ 与书上计算结果不同，有疑问}
%\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/Blackman公式示例2.pdf}
    \caption{用布莱克曼公式计算输出电阻}
    \label{fig:用布莱克曼公式计算输出电阻}
\end{figure}

\subsubsection{T与L及其分析法的对比}

返回比分析法与一般的环路增益分析法的特征对比
\begin{enum}
\item 计算 $T$ 时要考虑 $r_{\rm d}, r_{\rm o}$，而计算 $L$ 时 $r_{\rm d}, r_{\rm o}$ 为理想情况
\item 返回比分析法额外考虑了馈通效应，计算更精确，但在 $T,L$ 足够大时影响很小
\item 返回比分析法将负载电阻 $R_{\rm L}$ 与信号源内阻 $R_{\rm S}$ 纳入分析过程
\item 返回比分析法适用于所有拓扑结构，无需人为判断
\item 一般情况下一般的环路增益分析法就可以提供足够高的精度
\item 高频下运放开环增益 $a$ 减小使 $T,L$ 减小，同时 $r_{\rm d}, r_{\rm o}$ 显现出电抗特性使 $T,L$ 差异增大，且 $a_{\rm ft}$ 有所增加，此时应当采用返回比分析法
\end{enum}

\subsection{运放的供电}

\subsubsection{板级运放电路的供电}

板级模拟电路的电源设计：
\begin{enum}
\item 各IC芯片的每个 $V_{\rm CC}, V_{\rm EE}$ 引脚都需要就近接旁路滤波电容，例如 $0.1 \rm\;\mu F$ 的对地电容
\item 板上各电源接入点附近应有旁路滤波电容，例如 $10\rm \;\mu F$ 的对地电容
\item 电源线与地线应尽量宽，减少寄生电阻与寄生电感
\item 电源线与地线应尽量并排/层叠走线，减少电磁感应噪声
\item 对嘈杂的电路模块，应单独供电
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/运放的供电.pdf}
    \caption{运放的供电}
    \label{fig:运放的供电}
\end{figure}

在单电源供电时，可以用电阻分压产生中值电压，经过单位增益缓冲后作为信号地，如图 \ref{fig:单电源供电示例} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/单电源供电.pdf}
    \caption{单电源供电示例}
    \label{fig:单电源供电示例}
\end{figure}

\subsubsection{运放的电源流向}

运放有电流进出的引脚仅有两电源端与输出端\\
在合适的工况下，$i_{\rm CC}$ 总是流入运放，$i_{\rm EE}$ 总是流出运放，$i_{\rm o}$ 则两方向均有可能\\
输出电流既供给负载，又提供给反馈网络

$i_{\rm o} = 0$ 的特殊情况下有 $i_{\rm CC} = i_{\rm EE} = I_{\rm Q}$\\
其中 $I_{\rm Q}$ 称为静态电源电流，是给运放提供静态偏置的电流

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/运放的电源流向.pdf}
    \caption{运放的电源流向}
    \label{fig:运放的电源流向}
\end{figure}

\subsubsection{输出饱和}

电源电压 $V_{\rm CC}$ 与 $V_{\rm EE}$ 设定了运算放大器输出上下摆动能力的边界，如图 \ref{fig:输出饱和} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/输出饱和.pdf}
    \caption{输出饱和}
    \label{fig:输出饱和}
\end{figure}

\section{电阻反馈电路}

\subsection{电流电压转换器}

电流电压转换器也称为跨阻抗放大器，是并联-并联拓扑结构，其基本电路如 \ref{fig:基本I-V转换器} 所示
\begin{align*}
    &T = \frac{ar_{\rm d}}{r_{\rm d}+R+r_{\rm o}} & & \\
    &A_{\rm ideal} = -R &
    &R_{\rm i} = \frac{r_{\rm d} \parallel (R+r_{\rm o})}{1+T}\\ 
    &A = -R \cdot \frac{1}{1+1/T} & 
    &R_{\rm o} = \frac{r_{\rm o} \parallel (R+r_{\rm d})}{1+T}
\end{align*}
图 \ref{fig:电流电压转换器} 所示电路结构对输入源几乎无负载效应，因为输入电流源内阻 $R_{\rm S}$ 被虚地短路

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \ffigbox[\FBwidth]{
        \begin{subfloatrow}
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{基本I-V转换器}}{
                \includegraphics[scale=1.20]{figures/电流电压转换器.pdf}
                \label{fig:基本I-V转换器}
            }
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{高增益I-V转换器}}{
                \includegraphics[scale=1.20]{figures/电流电压转换器高增益.pdf}
                \label{fig:高增益I-V转换器}
            }
        \end{subfloatrow}
    }{
    \caption{电流电压转换器}
    \label{fig:电流电压转换器}
    }
\end{figure}

若要用图 \ref{fig:基本I-V转换器} 所示基本I-V转换器实现高增益，必须采用大电阻，使精确度降低\\
可以用图 \ref{fig:高增益I-V转换器} 所示T形电路结构实现高增益电流电压转换器\\
$R$ 与 $R_1$ 端电压相等，$R$ 上流过电流 $I_0$ 时 $R_1$ 上成比例流过电流 $R/R_1\cdot I_0$，使 $R_2$ 上电流电压增大
$$
A = \frac{v_{\rm o}}{i_{\rm i}} = -R - \left(1+\frac{R}{R_1}\right)R_2
$$

\subsection{电压电流转换器}

电压电流转换器也称跨导放大器，其输入输出关系通常用下式描述
$$
i_{\rm o} = A v_{\rm i} - \frac{1}{R_{\rm o}} v_{\rm L}
$$
其中 $A$ 是增益或称灵敏度， $R_{\rm o}$ 是输出电阻，$v_{\rm L}$ 是负载上的电压

若采用返回比分析法则闭环增益$A_1$与 $R_{\rm L}$ 有关，得到的 $i_{\rm o} = A_1 v_{\rm i}$ 使用不便\\
可定义空载（$v_{\rm L}=0$）时的增益为 $A$，并计算输出电阻 $R_{\rm o}$ \\
利用诺顿等效即可得到加负载时的精确输出电流 $i_{\rm o} = A v_{\rm i} - v_{\rm L}/R_{\rm o}$

定义电压裕量（Voltage Compliance）是电路在正常放大状态下可输出的负载电压范围\\
若负载上电流为 $i_{\rm o,ideal}$ 时所要求的 $v_{\rm L}$ 在电压裕量范围内，则可以维持所需要的 $i_{\rm o}$（无论负载特性如何）\\
若负载上电流为 $i_{\rm o,ideal}$ 时所要求的 $v_{\rm L}$ 超出电压裕量范围，则无法维持所需要的 $i_{\rm o}$

若负载两端均不受约束，则称浮动型负载\\
若负载的一端被固定到GND或其他电位，则称接地型负载


\subsubsection{浮动型负载的VI转换器}

两种基本的浮动型负载的V-I转换器如图 \ref{fig:浮动负载的VI转换器} 所示\\
由于负载是浮动的，可以串联对地电阻感知 $i_{\rm o}$ 反馈电压

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/浮动负载的VI转换器.pdf}
    \caption{浮动负载的VI转换器}
    \label{fig:浮动负载的VI转换器}
\end{figure}

\paragraph{理想分析}

理想条件下，图 \ref{fig:浮动负载的VI转换器} 所示两种电路中均有 $i_{\rm o} = v_{\rm i} / R$，但方向相反\\
左图所示类似同相放大器的电路，输入源无功率消耗，
电压裕量 $(V_{\rm OL} - v_{\rm i}) < v_{\rm L} < (V_{\rm OH} - v_{\rm i})$ 随 $v_{\rm i}$ 移动\\
右图所示类似反相放大器的电路，输入源需给出 $i_{\rm o}$，电压裕量 $V_{\rm OL} < v_{\rm L} < V_{\rm OH}$ 与 $v_{\rm i}$ 无关\\
两种电路所能输出的最大 $i_{\rm o}$ 均取决于运放的最大输出电流

\paragraph{非理想分析}

使用实际运放时图 \ref{fig:浮动负载的VI转换器} 左所示电路转化为图 \ref{fig:浮动负载的VI转换器非理想模型} 所示电路模型\\
列写电路方程，并化简为 $i_{\rm o} = Av_{\rm i} - v_{\rm L} / R_{\rm o}$ 形式
$$
\left\{
\begin{aligned}
&\left(\frac{v_{\rm D}}{r_{\rm d}} + i_{\rm o}\right) R = V_2 \\
&\frac{aV_{\rm D}-(V_2+V_{\rm L})}{r_{\rm o}} = i_{\rm o}    \\
&V_{\rm i} - V_{2} = V_{\rm D}
\end{aligned}
\right.
\qquad\qquad\Longrightarrow\qquad\qquad 
\begin{aligned}
&A = \frac{1}{R} \frac{a-R/r_{\rm d}}{a+1+r_{\rm o}/r_{\rm d} + r_{\rm o}/R} \\
&R_{\rm o} = r_{\rm o} + (a+1) (r_{\rm d}\parallel R)
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/浮动负载的VI转换器非理想模型.pdf}
    \caption{浮动负载的VI转换器非理想模型}
    \label{fig:浮动负载的VI转换器非理想模型}
\end{figure}

也可利用返回比分析法，求空载（$v_{\rm L}=0$）时的闭环增益 $A$ 与输出电阻 $R_{\rm o}$
$$
\begin{aligned}
& T = \frac{R \parallel r_{\rm d}}{R \parallel r_{\rm d} + r_{\rm o}} \cdot a \\
& a_{\rm ft} = -\frac{R\parallel r_{\rm o}}{R\parallel r_{\rm o}+r_{\rm d}} \cdot \frac{1}{r_{\rm o}}  \\
& A_{\rm ideal} = \frac{1}{R}\\
& R_{\rm o0} = R \parallel r_{\rm d} + r_{\rm o}
\end{aligned}
\qquad\qquad\Longrightarrow\qquad\qquad
\begin{aligned}
& A = \frac{A_{\rm ideal}}{1+1/T} + \frac{a_{\rm ft}}{1+T}
  = \frac{1}{R} \frac{a-R/r_{\rm d}}{a+1+r_{\rm o}/r_{\rm d} + r_{\rm o}/R} \\
& R_{\rm o} = R_{\rm o0} (1+T) = r_{\rm o} + (a+1) (r_{\rm d}\parallel R)
\end{aligned}
$$

\subsubsection{接地型负载的VI转换器}

对接地型负载，无法再串联接地电阻作为输出端感知元件，可换用图 \ref{fig:Howland电流泵} 所示Howland电流泵\\
利用负阻与诺顿等效出的非理想电流源并联，使等效输出电阻为 $\infty$，成为理想电流源
$$
R_{\rm o} = R_1 \parallel \frac{-R_2R_3}{R_4}
= \frac{R_2}{R_2/R_1 - R_4/R_3} = \infty
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}
$$
满足上述平衡条件时，输出电流为诺顿等效电流源电流 $i_{\rm o} = {v_1}/{R_1}$

由虚短，$v_{\rm L} = v_{\rm o} \cdot R_3/(R_3+R_4) = v_{\rm o} \cdot R_1/(R_1+R_2)$，可得电压裕量为：
$$
|v_{\rm L}| \le \frac{R_1}{R_1+R_2} V_{\rm sat} 
$$
为使电压裕量范围尽量大，必须使 $R_2$ 尽量小 

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/Howland电流泵.pdf}
    \caption{Howland电流泵}
    \label{fig:Howland电流泵}
\end{figure}

Howland电荷泵中既有正反馈路径，又有负反馈路径，计算返回比来确定谁占优：
$$
T = \frac{a(v_{\rm N} - v_{\rm P})}{v_{\rm T}} 
= a\left( \frac{R_3}{R_3+R_4} - \frac{R_1\parallel R_{\rm L}}{R_1\parallel R_{\rm L} + R_2} \right)
$$
在 $R_1/R_2 = R_3/R_4$ 时，只要 $0\le R_{\rm L} < \infty$ 则$T>0$使负反馈占优\\
$R_{\rm L}$ 越大则 $T$ 越小，$i_{\rm o}$ 精确度越小

\subsubsection{非理想因素}

\paragraph{电阻失配}

电阻失配会影响输出电阻，用不平衡因子 $\varepsilon$ 来衡量电阻失配程度
$$
\frac{R_4}{R_3} = \frac{R_2}{R_1} (1-\varepsilon) 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
R_{\rm o} = \frac{R_2}{R_2/R_1 - R_4/R_3} = \frac{R_1}{\varepsilon}
$$
其中 $\varepsilon$ 可正可负，输出电阻也可正可负

\paragraph{运放增益有限}

电路拓扑结构复杂，采用布莱克曼公式推导运放增益 $a$ 有限时的输出电阻
$$
\begin{aligned}
    &R_{\rm o0} = R_1 \parallel R_2 \\
    &T_{\rm sc} = \frac{aR_3}{R_3+R_4} =\frac{aR_1}{R_1+R_2} \\
    &T_{\rm oc} = a\left(\frac{R_3}{R_3+R_4} - \frac{R_1}{R_1+R_2}\right) = 0
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
R_{\rm o} = (R_1\parallel R_2) \left(1+\frac{aR_3}{R_3+R_4}\right)
$$
可见，$R_{\rm o}$ 几乎正比于运放开环增益 $a$\\
运放开环增益 $a$ 有限与否不改变VI转换器的灵敏度 $A=1/R_1$

\subsubsection{改进型Howland电流泵}

若负载本身的特性使 $v_{\rm L}$ 较大，Howland电流泵中 $R_1$ 上可能流过较大电流，产生较大的无效功耗\\
图 \ref{fig:改进型Howland电流泵} 所示改进型Howland电流泵电路可避免这一问题

将$R_2$ 分解为 $R_{\rm 2A}+R_{\rm 2B}$ 从而平衡条件为
$$
\frac{R_1}{R_{\rm 2A} + R_{\rm 2B}} = \frac{R_{3}}{R_4}
$$
可以证明，输出电阻与传输特性为：
\begin{align*}
    &R_{\rm o} = \infty &
    i_{\rm o} = \frac{R_2/R_1}{R_{\rm 2B}} v_{\rm i}
\end{align*}
可以使 $R_{\rm 2B}$ 足够小来获得较大增益，同时使其他电阻较大来降低功耗

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/Howland电流泵改进型.pdf}
    \caption{改进型Howland电流泵}
    \label{fig:改进型Howland电流泵}
\end{figure}

\subsubsection{差分输入的Howland电荷泵}

Howland电流泵左上角的接地端可作为第二个输入端，从而可以接受差分电压输入，如图 \ref{fig:差分输入的Howland电流泵} 所示
\begin{align*}
    &i_{\rm o} = \frac{1}{R_1} (v_2 - v_1) &
    &R_{\rm o} = \infty
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/Howland电流泵差分输入.pdf}
    \caption{差分输入的Howland电流泵}
    \label{fig:差分输入的Howland电流泵}
\end{figure}


\subsection{电流放大器}

电流放大器的传输特性一般写为如下形式，其中$A$为空载 $v_{\rm L}=0$ 时的增益
$$
i_{\rm o} = Ai_{\rm i} - \frac{1}{R_{\rm o}} v_{\rm L}
$$

\subsubsection{浮动负载电流放大器}

浮动负载的电流放大器如图 \ref{fig:浮动负载的电流放大器} 所示\\
在理想条件下$i_{\rm o}$ 与 $v_{\rm L}$ 无关，容易看出：
\begin{align*}
    & A = 1 + \frac{R_2}{R_1} &
    & R_{\rm o} = \infty
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/浮动负载的电流放大器.pdf}
    \caption{浮动负载的电流放大器}
    \label{fig:浮动负载的电流放大器}
\end{figure}

在 $a$ 有限时，在空载 $v_{\rm L}=0$ 条件下用返回比分析法计算 $A$ 与 $R_{\rm o}$\\
容易求得返回比 $T=a$，馈通增益 $a_{\rm ft} = 1$
\begin{align*}
    &A = \left(1+\frac{R_2}{R_1}\right) \frac{1}{1+1/a} + \frac{1}{1+a} = 1 + \frac{R_2}{R_1} \frac{1}{1+1/a} \\
    &R_{\rm o} = R_{\rm o0} \cdot (1+a) = R_1(1+a)
\end{align*}

\subsubsection{接地负载电流放大器}

接地负载的电流放大器如图 \ref{fig:接地负载的电流放大器} 所示\\
在虚短条件下 $R_1$ 与 $R_2$ 两端压差相同，从而两者电流之比是其阻值反比\\
从负载看，其它元件构成负阻，因此输出电阻为负值
\begin{align*}
    & A = - \frac{R_2}{R_1} &
    & R_{\rm o} = -\frac{R_{\rm S}}{R_2} R_1
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/接地负载的电流放大器.pdf}
    \caption{接地负载的电流放大器}
    \label{fig:接地负载的电流放大器}
\end{figure}

\subsection{差分放大器}

差分放大器电路如图 \ref{fig:差分放大器2} 所示，理想条件下平衡条件与传递函数为：
\begin{align*}
    \frac{R_2}{R_1} = \frac{R_4}{R_3} 
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    v_{\rm o} = \frac{R_2}{R_1} (v_2 - v_1)
\end{align*}
考虑差模输入电阻时，运放正负输入端虚短，两 $R_1$ 串联\\
考虑共模输入电阻时，运放输出端为虚地，上下两支路并联
\begin{align*}
    &R_{\rm i,dm} = 2R_1 &
    &R_{\rm i,cm} = \frac{R_1 + R_2}{2}
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/差分放大器2}
    \caption{差分放大器}
    \label{fig:差分放大器2}
\end{figure}

\subsubsection{电阻失配}

电阻失配时，电路对共模输入不能完全抑制，需要计算其共模抑制比\\
假设三个电阻理想，而 $R_2$ 失配为 $R_2(1-\varepsilon)$，利用叠加原理：
$$
v_{\rm o} 
= -\frac{R_2(1-\varepsilon)}{R_1} \left(v_{\rm CM} - \frac{v_{\rm DM}}{2}\right)
  +\left(1+\frac{R_2(1-\varepsilon)}{R_1}\right) \cdot \frac{R_2}{R_1+R_2} \left(v_{\rm CM} + \frac{v_{\rm DM}}{2}\right)
$$
整理后可得：
\begin{align*}
    &v_{\rm o} = A_{\rm DM} v_{\rm DM} + A_{\rm CM} v_{\rm CM} \\
    &A_{\rm DM} = \frac{R_2}{R_1} \left(1 - \frac{R_1+2R_2}{R_1+R_2} \frac{\varepsilon}{2}\right) \\
    &A_{\rm CM} = \frac{R_2}{R_1+R_2} \varepsilon \\
    &\mathrm{CMRR} = 20 \lg \left|\frac{A_{\rm DM}}{A_{\rm CM}}\right| 
                   \approx 20 \lg \left|\frac{1+R_2/R_1}{\varepsilon}\right|
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/差分放大器电阻失配.pdf}
    \caption{差分放大器电阻失配}
    \label{fig:差分放大器电阻失配}
\end{figure}

\subsubsection{可调增益}

要实现增益可调的差分放大器，且不影响电桥平衡，可用图 \ref{fig:可调增益的差分放大器} 所示电路\\
可以证明其传递函数为
$$
v_{\rm o} = \frac{2R_2}{R_1} \left(1+\frac{R_2}{R_{\rm G}}\right) (v_2 - v_1)
$$
%对于差模输入，运放输入端与 $R_{\rm G}$ 中点均为虚地，左上侧 $R_2$ 与 $R_{\rm G}/2$ 构成T型网络\\
%电桥平衡条件下两输入端增益相同，要计算传输函数，只需计算 $v_1$ 输入端的增益
%$$
%\begin{aligned}
%    v_{\rm o} &= \frac{1}{R_1} \cdot \left[R_2 + \left(1 + \frac{R_2}{R_{\rm G}/2}\right)R_2\right] (v_2-v_1) \\
%              &= \frac{2R_2}{R_1} \left(1+\frac{R_2}{R_{\rm G}}\right) (v_2 - v_1)
%\end{aligned}
%$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/差分放大器可调增益.pdf}
    %\qquad
    %\includegraphics[scale=1.20]{figures/差分放大器可调增益计算.pdf}
    \caption{可调增益的差分放大器}
    \label{fig:可调增益的差分放大器}
\end{figure}

上述电路的增益随 $R_{\rm G}$ 的变化是非线性的，可用图 \ref{fig:差分放大器可调增益2} 所示电路实现线性增益调节\\
此电路在反馈环路中增加了一个反向放大器，使 $b=b_0 \cdot R_{3}/R_{\rm G}$ 从而 $A = A_0 \cdot R_{\rm G} / R_3$\\
由于反相放大器已经在环路中引入反相，反馈环路需接在运放正输入端上
$$
v_{\rm o} = \frac{R_{\rm G}}{R_3} \cdot \frac{R_2}{R_1} (v_2 - v_1)
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/差分放大器可调增益2.pdf}
    \caption{增益线性可调的差分放大器}
    \label{fig:差分放大器可调增益2}
\end{figure}

\subsubsection{应用：抑制地线干扰}

若输入源与放大器间距较长，较长的地线上可能有一定的压差 $v_{\rm g}$，直接使用单端放大器将使此压差也被放大\\
可以改用差分输入的放大器，将 $v_{\rm g}$ 作为共模输入被抑制

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/差分放大器抑制地线干扰.pdf}
    \caption{用差分放大器抑制地线干扰}
    \label{fig:差分放大器抑制地线干扰}
\end{figure}

\subsection{仪表放大器}

仪表放大器（Instrumentation Amplifier, IA）是满足以下技术要求的差分放大器
\begin{enum}
    \item 极高的共模与差模输入阻抗
    \item 极小的输出阻抗
    \item 精确且稳定的增益，一般在 $1\sim 1000$ 之间
    \item 极高的共模抑制比
\end{enum}

上一节所述的普通差分放大器可以满足后三条要求，但其输入阻抗是有限的\\
提高输入阻抗的基本思路是直接将信号源接在运放输入端上

\subsubsection{三运放仪表放大器}

改进普通差分放大器，在其前级增加一对同相放大器，如图 \ref{fig:三运放仪表放大器电路} 所示
\begin{enum}
    \item 对差模输入 $R_{\rm G}$ 中央为虚地，$\mathrm {OA_{1,2}}$构成一对同相放大器，增大了差模信号增益，且增益可用 $R_{\rm G}$ 调节
    \item 对共模输入 $R_{\rm G}$ 上电流为零，$\mathrm {OA_{1,2}}$构成一对电压跟随器，共模信号被后级差分放大器抑制
\end{enum}
$$
A_{\rm DM} = \left(1 + \frac{R_3}{R_{\rm G}/2}\right) \cdot \frac{R_2}{R_1}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/仪表放大器三运放.pdf}
    \caption{三运放仪表放大器电路}
    \label{fig:三运放仪表放大器电路}
\end{figure}

\subsubsection{两运放仪表放大器}

两运放的仪表放大器电路如图 \ref{fig:仪表放大器两运放} 所示\\
$\mathrm{OA_2}$ 兼任 $v_2$ 的同相放大器与 $v_1$ 的反相放大器，而 $v_1$ 独享一个倒数比例的同相放大器使两端增益相同
\begin{align*}
    \frac{R_3}{R_4} = \frac{R_1}{R_2} 
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    v_{\rm o} = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)(v_2 - v_1)
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/仪表放大器两运放.pdf}
    \caption{两运放仪表放大器电路}
    \label{fig:仪表放大器两运放}
\end{figure}

若要增益可调，可增加一个跨接电阻 $R_{\rm G}$，如图 \ref{fig:可调增益的两运放仪表放大器电路} 所示\\
其增益可证明如下式，相当于 $R_{\rm G}/2$ 与 $R_1$ 并联
$$
v_{\rm o} = \left(1 + \frac{R_2}{R_1} + \frac{R_2}{R_{\rm G}/2}\right)(v_2 - v_1)
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/仪表放大器两运放可调增益.pdf}
    \caption{可调增益的两运放仪表放大器电路}
    \label{fig:可调增益的两运放仪表放大器电路}
\end{figure}

\subsubsection{集成仪表放大器}

可以直接针对仪表放大器的性能要求设计集成电路，图 \ref{fig:集成仪表放大器电路} 为AMP01仪表放大器的简化电路框图\\
相比用运放实现的仪表放大器，集成电路可提供更高度匹配的电路元件，提高了共模抑制比\\
输入信号直接连接到靠近输出端的晶体管对，相比连接到一对通用运放，电路延时更小

图 \ref{fig:集成仪表放大器电路} 所示电路中感知端在片外与输出端相连，基准端在片外作为负载接地，$R_{\rm G},R_{\rm S}$ 由片外提供\\
由于两支路电流被上下的电流源约束为相等，有 $I_{R\rm gain} = I_{R\rm scale}$\\
两对晶体管中电流恒定，近似为两对电压跟随器，因此$V_{R\rm gain} = V_{\rm in+} - V_{\rm in-}$，
$V_{R\rm scale} = V_{\rm sense}/20 - V_{\rm ref}/20$\\
$$
\frac{V_{\rm out}/20}{R_{\rm S}} = \frac{V_{\rm in,DM}}{R_{\rm G}}
\qquad\qquad\Longrightarrow\qquad\qquad 
A = \frac{20 R_{\rm S}}{R_{\rm G}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{figures/集成仪表放大器.png}
    \caption{集成仪表放大器电路示例}
    \label{fig:集成仪表放大器电路}
\end{figure}

\subsubsection{飞跨电容技术}

飞跨电容技术也可提供高CMRR，利用飞跨电容技术实现的仪表放大器如图 \ref{fig:飞跨电容仪表放大器电路} 所示\\
第一级开关电容$C_1$充电时提取差模输入，在此过程中共模输入被自然抑制，且低频输入阻抗极大\\
拨片切换到右侧，$C_1$ 上的差模信号被转化为对地电压，因此第二级采用同相放大器，无需差分放大器\\
电容 $C_3$ 用来实现低通滤波，使输出稳定

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/飞跨电容技术.pdf}
    \caption{飞跨电容仪表放大器电路}
    \label{fig:飞跨电容仪表放大器电路}
\end{figure}

优势：对低频输入，飞跨电容电路可提供很高的CMRR，且低频输入阻抗极大\\
劣势：高频输入阻抗小、需要时钟信号

\subsubsection{仪表放大器应用}

\paragraph{传输线共模屏蔽}

远程传送电压信号时，经常使用有屏蔽层的差分线，并且用差分放大器来接收信号\\
差分线受干扰产生共模噪声，利用高CMRR的仪表放大器可抑制此共模噪声的影响\\
然而当两根差分线有不同的寄生$RC$参数时，共模噪声可能被转化为动态的差模噪声，使系统CMRR下降

常用接共模电平的屏蔽层来抑制传输过程的噪声，提高系统CMRR，如图 \ref{fig:仪表放大器应用差分线屏蔽层} 所示\\
在仪表放大器的第一级输出用一对电阻检测共模电平，经缓冲器驱动屏蔽层保持共模电平

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/仪表放大器应用差分线屏蔽层.pdf}
    \caption{共模屏蔽层抑制传输噪声}
    \label{fig:仪表放大器应用差分线屏蔽层}
\end{figure}

\paragraph{仪放输出偏置控制}

若需要改变仪表放大器的输出偏置，可用图 \ref{fig:仪表放大器可控输出偏置} 所示电路结构\\
利用叠加原理容易看出，$v_{\rm o}$ 的直流偏置等于 $V_{\rm REF}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/仪表放大器可控输出偏置.pdf}
    \caption{输出偏置可控的仪表放大器}
    \label{fig:仪表放大器可控输出偏置}
\end{figure}

\subsubsection{电流输出的仪表放大器}

若需要以电流为输出的仪表放大器，可将第二级改为差动电压输入的Howland电荷泵，如图 \ref{fig:电流输出的仪表放大器} 所示\\
理想状况下 $R_{\rm o} = \infty$，因此：
$$
i_{\rm o} = \left(1 + \frac{R_3}{R_{\rm G}/2}\right)\cdot \frac{1}{R_1} (v_2 - v_1)
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/仪表放大器电流输出.pdf}
    \caption{电流输出的仪表放大器}
    \label{fig:电流输出的仪表放大器}
\end{figure}

\subsubsection{电流输入的仪表放大器}

对浮动电流源输入，第一级改用电流-电压转换器，转换器的负输入端不接地而是改用输出的共模电平\\
由于两运放的两对输入端全部虚短，输入电流源无功率输出，使输入电阻为0
$$
\frac{v_{\rm o}}{i_{\rm i}} = -2R_3 \cdot \frac{R_2}{R_1}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/仪表放大器电流输入.pdf}
    \caption{电流输入的仪表放大器}
    \label{fig:电流输入的仪表放大器}
\end{figure}

\subsection{传感器桥式放大器}

有很多电阻型传感器，在被测量变化时其电阻值有 $R$ 变化到 $R(1+\delta)$\\
可以用电桥检测电阻值的变化，经过放大器后转化为合适大小的电压信号

\subsubsection{基础传感器电桥}

如图 \ref{fig:基础传感器桥式放大器} 为基础的传感器电桥电路\\
其输出与 $\delta$ 不是线性相关的，但在 $\delta \ll 1$ 条件下近似线性
$$
\begin{aligned}
    v_{\rm o} &= AV_{\rm REF} \frac{\delta}{1 + R_1/R + (1+R/R_1)(1+\delta)} \\
              &\approx \frac{AV_{\rm REF}}{2+R_1/R+R/R_1} \delta
\end{aligned}
$$
通常取 $R=R_1$ 从而：
$$
v_{\rm o} = \frac{A V_{\rm REF}}{4} \frac{\delta}{1+\delta/2}
\approx \frac{AV_{\rm REF}}{4} \delta
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/传感器桥式放大器.pdf}
    \caption{基础传感器桥式放大器}
    \label{fig:基础传感器桥式放大器}
\end{figure}

由于电桥电阻存在失调，可用图 \ref{fig:传感器电桥校准} 所示电路校准电桥\\
调节 $R_2$ 可校准电桥失调，调节 $R_3$ 可调节灵敏度

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/传感器电桥校准.pdf}
    \caption{传感器电桥校准}
    \label{fig:传感器电桥校准}
\end{figure}

\subsubsection{应变传感器电桥}

应变仪中的电桥采用两对变化趋势相反的电阻传感器，如图 \ref{fig:应变传感器电桥} 所示\\
优点：补偿温度变化、灵敏度提高、线性传感

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/传感器电桥应变仪.pdf}
    \caption{应变传感器电桥}
    \label{fig:应变传感器电桥}
\end{figure}

电路中 $R_1,R_2$ 用来补偿电阻失配，$R_3,R_4$ 用来调节灵敏度\\
在忽略以上调节装置，且电阻无失配的理想条件下，可以得到以下完全线性的关系式
$$
v_{\rm o} = A V_{\rm REF} \delta
$$
相比普通传感器电桥，灵敏度增大为原来的4倍

\subsubsection{单运放传感器桥式放大器}

用单个通用运放实现的传感器桥式放大器如图 \ref{fig:单运放传感器桥式放大器} 所示\\
其传递关系在 $\delta \ll 1$ 也是近似线性的
\begin{align*}
    v_{\rm o} &= \frac{R_2}{R} V_{\rm REF} \frac{\delta}{R_1/R + (1+R_1/R_2)(1+\delta)} \\
              &\approx \frac{R_2}{R} V_{\rm REF} \frac{\delta}{1 + R_1/R + R_1/R_2}
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/传感器电桥放大器单运放.pdf}
    \caption{单运放传感器桥式放大器}
    \label{fig:单运放传感器桥式放大器}
\end{figure}

\subsubsection{线性电桥}

除应变仪电桥外的电桥放大器均只能做到近似线性，将电桥参考电源改为恒流源可实现完全线性，如图 \ref{fig:恒流线性的传感器电桥} 所示\\
电桥的两支路需要总阻值相等，则两支路电流均为 $V_{\rm REF}/R_1/2$
$$
v_{\rm o} = A \cdot \frac{1}{2}\frac{V_{\rm REF}}{R_1} \cdot R \delta 
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/传感器桥式放大器线性化1.pdf}
    \caption{恒流线性的传感器电桥}
    \label{fig:恒流线性的传感器电桥}
\end{figure}

采用通用运放也可搭建线性电桥，如图 \ref{fig:通用运放搭建的线性电桥} 所示电路的传递关系可证明为：
$$
v_{\rm o} = \frac{R_2 V_{\rm REF}}{R_1} \delta
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/传感器桥式放大器线性化2.pdf}
    \caption{通用运放搭建的线性电桥}
    \label{fig:通用运放搭建的线性电桥}
\end{figure}

\section{有源滤波器}

无源滤波器：用RLC组成的滤波电路\\
有源滤波器：用RC、放大器组成的滤波电路
\begin{enum}
    \item 电感成本高、体积大、难集成、Q值小、存在电磁干扰问题，有源滤波器可避免上述问题
    \item 有源滤波器的品质因子 $Q$ 值更大，需要时可以达到100以上，而无源滤波器 $Q<0.5$
    \item 有源滤波器面临运放性能的限制：稳定性问题、增益有限、带宽有限
\end{enum}

\begin{quote}
    一般认为 $\omega_{\rm p1}$ 处极点在 $0.1\omega_{\rm p1} < \omega < 10\omega_{\rm p1}$ 频率范围内产生影响\\
    据此可估计运放自身极点对滤波器造成的影响
\end{quote}

\subsection{一阶有源滤波器}

\subsubsection{微分器、积分器}

微分器及其幅频特性如图 \ref{fig:微分器及其幅频特性} 所示
\begin{align*}
    &H(s) = -Cs\cdot R = -RCs &
    &H(\rmj\omega) = \frac{\omega}{\omega_0}\angle (-90^\circ) &
    &\omega_0 = \frac{1}{RC}
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/微分器及其频率特性.pdf}
    \caption{微分器及其幅频特性}
    \label{fig:微分器及其幅频特性}
\end{figure}

积分器及其幅频特性如图 \ref{fig:积分器及其幅频特性} 所示
\begin{align*}
    &H(s) = -\frac{1}{R} \cdot \frac{1}{Cs} = -\frac{1}{RCs} &
    &H(\rmj\omega) = \frac{1}{\omega/\omega_0} \angle (+90^\circ) &
    &\omega_0 = \frac{1}{RC}
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/积分器及其幅频特性.pdf}
    \caption{积分器及其幅频特性}
    \label{fig:积分器及其幅频特性}
\end{figure}

用Howland电流泵可以构成同相积分器，如图 \ref{fig:同相积分器} 所示\\
以同相放大器输出端作为积分器输出端，避免负载电流干扰 $C$ 的充放电
\begin{align*}
    &H(s) = \frac{1}{R} \cdot \frac{1}{2Cs} \cdot 2 = \frac{1}{RCs}
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/同相积分器.pdf}
    \caption{同相积分器}
    \label{fig:同相积分器}
\end{figure}

Howland电荷泵中的负阻值为 $-R/k$，$k$ 越大则 $|-R/k|$ 越小，同电压下负电流越大、对外供能能力越强\\
在 $k<1$ 时负阻供能能力弱于正阻耗能能力，极点在左半平面，电路稳定，为有损积分器\\
在 $k=1$ 时负阻供能能力等于正阻耗能能力，极点在原点位置，电路为理想积分器\\
在 $k>1$ 时负阻供能能力强于正阻耗能能力，极点在右半平面，电路不稳定
$$
R_{\rm eq} = R \parallel \left(-\frac{R}{k}\right) = \frac{R}{1-k}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
s_{\rm p} = -\frac{1}{R_{\rm eq}C} = -\frac{1-k}{RC}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/同相积分器的极点.pdf}
    \caption{同相积分器的极点变化}
    \label{fig:同相积分器的极点变化}
\end{figure}

\subsubsection{低通、高通、带通}

形似反相放大器的电路均由一个对地导纳 $G_1(s) = 1/Z_1(s)$ 与一个对地阻抗 $Z_2(s)$ 组成，且它们之间是解耦的
$$
H(s) = - \frac{1}{Z_1} \cdot Z_2
$$
当对地导纳部分 $G_1$ 有串联电容时，能够完全屏蔽低频电流，形成高通特性\\
当对地阻抗部分 $Z_2$ 有并联电容时，能够完全屏蔽高频电压，形成低通特性\\
通过合理选定两部分的频率特性与带宽，即可组成低通、高通、带通滤波器

一阶有源低通滤波器如图 \ref{fig:一阶低通滤波器} 所示
$$
H(s) = -\frac{1}{R_1} \cdot \frac{1}{Cs + 1/R_2}
= -\frac{R_2}{R_1}\frac{1}{R_2Cs+1}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/一阶低通滤波器.pdf}
    \caption{一阶有源低通滤波器}
    \label{fig:一阶低通滤波器}
\end{figure}

一阶有源高通滤波器如图 \ref{fig:一阶高通滤波器} 所示 
$$
H(s) = -\frac{1}{R_1 + 1/(Cs)} \cdot R_2
= -\frac{R_2}{R_1} \frac{R_1Cs}{R_1Cs + 1}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/一阶有源高通滤波器.pdf}
    \caption{一阶有源高通滤波器}
    \label{fig:一阶高通滤波器}
\end{figure}

有源带通滤波器如图 \ref{fig:一阶有源带通滤波器} 所示
$$
H(s) = -\frac{1}{R_1 + 1/(Cs)} \cdot \frac{1}{Cs + 1/R_2}
= -\frac{R_2}{R_1} \frac{R_1C_1s}{R_1C_1s+1} \frac{1}{R_2C_2s + 1}
$$
高通部分的截止频率即 $\omega_{\rm L} = 1/R_1C_1$，低通部分的截止频率即 $\omega_{\rm H} = 1/R_2C_2$\\
满足 $\omega_{\rm L} \ll \omega_{\rm H}$ 时呈现所期望的带通特性，在中频段两电容的作用均可忽略，中频增益 $-R_2/R_1$\\
不满足 $\omega_{\rm L} < \omega_{\rm H}$ 时虽然零极点排布仍使系统呈现带通特性，但其中频增益很难控制

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/一阶有源带通滤波器.pdf}
    \caption{有源带通滤波器}
    \label{fig:一阶有源带通滤波器}
\end{figure}

\begin{quote}
    根据定义，滤波器阶数由传递函数分母决定，上述带通滤波器实质上是二阶的
\end{quote}

\subsubsection{移相器}

移相器即全通滤波器，对所有频率的增益相同，但相移不同\\
其传递函数常是分子分母共轭的形式

一阶有源移相器如图 \ref{fig:一阶有源移相器} 所示，利用叠加原理：
$$
V_{\rm out} = -V_{\rm in} + 2\cdot \frac{1/Cs}{R+1/Cs}V_{\rm in}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
H(s) = \frac{-RCs+1}{RCs+1}
$$
$$
H(\rmj\omega) = \frac{1 - \rmj\omega/\omega_0}{1 + \rmj\omega/\omega_0} 
= 1\;\angle\big[-2\arctan(\omega/\omega_0)\big]
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/一阶有源移相器.pdf}
    \caption{一阶有源移相器}
    \label{fig:一阶有源移相器}
\end{figure}

\subsection{标准二阶响应}

二阶传递函数的标准形式：
\begin{align*}
&H(s) = \frac{N(s)}{(s/\omega_0)^2 + 2\zeta(s/\omega_0) + 1} \\
&H(\rmj\omega) = \frac{N(s)}{1-(\omega/\omega_0)^2 + (\rmj\omega/\omega_0)/Q} \\
&Q = \frac{1}{2\zeta}
\end{align*}
其中 $Q$ 定义为 $1/2\zeta$，其物理含义后续将体现出来

阻尼系数 $\zeta$ 决定了二阶系统的极点分布形态
\begin{enum}
    \item $\zeta > 1$ 是欠阻尼系统，有两个不相等的左半平面极点
    \item $\zeta = 1$ 是临界阻尼系统，有两个相等的左半平面极点
    \item $0 < \zeta < 1$ 是欠阻尼系统，有一对左半平面共轭极点
    \item $\zeta \le 0$ 有非左半平面极点，系统不稳定
\end{enum}

\begin{quote}
实际中使用的有源滤波器一般 $Q = 1/(2\zeta) > 0.5$，均为欠阻尼系统
\end{quote}

标准二阶系统的频率响应类型由其分子 $N(s)$ 的形式决定，从零极点排布的角度容易得知：
\begin{enum}
    \item 分子为常数项：低通
    \item 分子为一次项：带通
    \item 分子为二次项：高通
\end{enum}

\subsubsection{低通、高通}

标准二阶低通响应的传递函数为：
$$
H_{\rm LP}(\rmj\omega) = \frac{1}{1-(\omega/\omega_0)^2+(\rmj\omega/\omega_0)/Q} \\
$$
低频处 $H_{\rm LP} = 1$，高频处 $-40 \;\rm dB/dec$，在 $\omega=\omega_0$ 处 $|H_{\rm LP}| = |-\rmj Q| = Q$

$Q>1/\sqrt{2}=0.707$ 即 $\zeta < 1/\sqrt2$ 时，在 $\omega=\omega_0$ 附近频带内存在 $|H(\rmj\omega)|>1$ 的尖峰\\
$Q=1/\sqrt{2}=0.707$ 是最陡峭的平缓响应，称Butterworth响应，其 $\omega_0$ 恰为 $-3\;\rm dB$ 衰减频率，类似一阶响应

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/二阶低通高通响应.pdf}
    \caption{标准二阶低通高通响应}
    \label{fig:二阶低通、高通响应}
\end{figure}

对于存在尖峰的响应（$Q>1/\sqrt2$），峰值及其对应频率为如下
\begin{align*}
    &|H|_{\rm max} = \frac{Q}{\sqrt{1-1/(4Q^2)}} &
    &\omega/\omega_0 = \sqrt{1-1/(2Q^2)}
\end{align*}
$Q$ 足够大时，峰值响应频率越接近 $\omega_0$，峰值也接近 $H(\omega=\omega_0) = Q$

标准二阶高通响应的传递函数如下，其分子上的负号是定义的一部分
$$
H_{\rm HP}(\rmj\omega) = \frac{-(\omega/\omega_0)^2}{1 - (\omega/\omega_0)^2 + (\rmj\omega/\omega_0)/Q}
$$
对 $H_{\rm LP}(\rmj\omega)$ 将 $\rmj\omega/\omega_0$ 替换为其倒数就得到 $H_{\rm HP}(\rmj\omega)$，
因此两者的Bode图相对 $\omega=\omega_0$ 对称，性质完全相似

\subsubsection{带通}

标准二阶带通响应的传递函数为：
$$
H_{\rm BP}(\rmj\omega) = \frac{(\rmj\omega/\omega_0)/Q}{1-(\omega/\omega_0)^2+(\rmj\omega/\omega_0)/Q}
$$
低频渐近线 $+20\;\rm dB/dec$，与 $\omega=\omega_0$ 交点纵坐标 $-Q_{\rm dB}$\\
高频渐近线 $-20\;\rm dB/dec$，与 $\omega=\omega_0$ 交点纵坐标 $-Q_{\rm dB}$\\
$\omega=\omega_0$ 处 $H_{\rm BP}=1$ 恒定，与 $Q$ 无关

将两侧 $-3\;\rm dB$ 衰减频率定义为 $\omega_{\rm L}, \omega_{\rm H}$，两者在对数坐标上关于 $\omega_0$ 对称（几何平均）
$$
\begin{aligned}
    \omega_{\rm L} &= \omega_0 \left[\sqrt{1+1/(4Q^2)} - 1/(2Q)\right]\\
    \omega_{\rm H} &= \omega_0 \left[\sqrt{1+1/(4Q^2)} + 1/(2Q)\right]
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\begin{aligned}
    &\omega_0 = \sqrt{\omega_{\rm L}\omega_{\rm H}}\\
    &Q = \frac{\omega_0}{\mathrm{BW}} \\
    &\mathrm{BW} = \omega_{\rm H} - \omega_{\rm L}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/二阶带通响应.pdf}
    \caption{标准二阶带通响应}
    \label{fig:二阶带通响应}
\end{figure}

\subsubsection{带阻、全通}
带阻（Notch）滤波器也称陷波器，其标准二阶响应如下
$$
H_{\rm N}(\rmj\omega) = \frac{1 - (\omega/\omega_0)^2}{1-(\omega/\omega_0)^2+(\rmj\omega/\omega)/Q}
$$

标准二阶全通响应的传递函数如下所示，其分子分母是共轭的
$$
H_{\rm AP}(\rmj\omega) = \frac{1-(\omega/\omega_0)^2-(\rmj\omega/\omega)/Q}{1-(\omega/\omega_0)^2+(\rmj\omega/\omega)/Q}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/二阶带阻响应.pdf}
    \caption{标准二阶带阻、全通响应}
    \label{fig:二阶带阻响应}
\end{figure}

对于具有相同 $\omega_0$ 的各种响应，从传递函数形式上容易看出：
$$
\begin{aligned}
    &H_{\rm LP} + H_{\rm HP} + H_{\rm BP} = 1 \\
    &H_{\rm N} = H_{\rm LP} + H_{\rm HP} = 1 - H_{\rm BP} \\
    &H_{\rm AP} = H_{\rm LP} + H_{\rm HP} - H_{\rm BP} = 1 - 2H_{\rm BP} \\
\end{aligned}
$$

上述是对二阶系统特性的基本描述，实现二阶系统的电路结构主要有：
\begin{enum}
    \item 尽量节约运放：KRC滤波器（Sallen-Key）、多重反馈滤波器Multiple-feedback
    \item 允许多用运放：状态变量滤波器State variable（SV/KHN）、双二阶滤波器 Biquad（Tow-Thomas）
\end{enum}

\subsection{二阶KRC滤波器}

两级RC电路级联即可得到二阶无源滤波器，其 $Q<0.5$，在 $\omega = \omega_0$ 附近也不会出现尖峰\\
若要提高 $Q$ 就需要在 $\omega = \omega_0$ 附近增大幅度响应\\
可增加一个可控的正反馈量，在 $\omega_0$ 附近正反馈较强，而高频/低频处正反馈都很弱，形成图 \ref{fig:KRC滤波器基本结构} 所示电路

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/KRC滤波器基本结构.pdf}
    \caption{KRC滤波器基本原理与结构}
    \label{fig:KRC滤波器基本结构}
\end{figure}

\subsubsection{低通KRC滤波器}

二阶低通KRC滤波器电路结构如图 \ref{fig:二阶低通KRC滤波器} 所示
\begin{align*}
    &H_{\rm LP,0} = K = 1 + \frac{R_B}{R_A} \hspace{3cm}
    \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1C_1R_2C_2}} \\
    &Q=\frac{1}{(1-K) \sqrt{R_1 C_1 / R_2 C_2}+\sqrt{R_1 C_2 / R_2 C_1}+\sqrt{R_2 C_2 / R_1 C_1}} \\
    &H(s)=\frac{K}{R_1 C_1 R_2 C_2 s^2+\left[(1-K) R_1 C_1+R_1 C_2+R_2 C_2\right] s+1} \\
    &H(\rmj\omega)=K \frac{1}{1-\omega^2 R_1 C_1 R_2 C_2+\rmj\omega\left[(1-K) R_1 C_1+R_1 C_2+R_2 C_2\right]}
\end{align*}
$H_{\rm LP,0}, Q$ 取决于元件参数的比值，而 $\omega_0$ 取决于元件参数的乘积

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/KRC滤波器低通.pdf}
    \caption{二阶低通KRC滤波器}
    \label{fig:二阶低通KRC滤波器}
\end{figure}

对于期望的 $H_{\rm LP,0}, Q, \omega_0$ 有3个方程，而有5个参数 $K,R_1,C_1,R_2,C_2$，具有两个设计自由度\\
通常用以下两种方式来设计元件参数

\paragraph{等值元件KRC电路}

令 $R_1 = R_2 = R$ 且 $C_1=C_2=C$，则依据所期望的 $H_{\rm LP,0}, \omega_0, Q$ 可以得到所有元件参数的具体值
\begin{align*}
    &H_{\rm LP,0} = K &
    &\omega_0 = \frac{1}{RC} &
    &Q = \frac{1}{3-K}
\end{align*}

\paragraph{单位增益KRC电路}

令 $K=1$ 为单位增益缓冲器，记 $R_2=R, C_2=C, R_1=mR, C_1=nC$，此时还有一个设计自由度
\begin{align*}
    &H_{\rm LP,0} = 1 &
    &\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{mn}RC} &
    &Q = \frac{\sqrt{mn}}{m+1}
\end{align*}

\subsubsection{高通、带通、带阻}

二阶高通KRC滤波器结构如图 \ref{fig:二阶高通KRC滤波器} 所示
$$
\begin{aligned}
& H_{\mathrm{HP},0}=K \hspace{4cm}
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{R_1 C_1 R_2 C_2}} \\
& Q=\frac{1}{(1-K) \sqrt{R_2 C_2 / R_1 C_1}+\sqrt{R_1 C_2 / R_2 C_1}+\sqrt{R_1 C_1 / R_2 C_2}}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/KRC滤波器高通.pdf}
    \caption{二阶高通KRC滤波器}
    \label{fig:二阶高通KRC滤波器}
\end{figure}

二阶带通KRC滤波器结构如图 \ref{fig:二阶带通KRC滤波器} 所示
$$
\begin{aligned}
& H_{\mathrm{BP},0}=\frac{K}{1+(1-K) R_1 / R_3+\left(1+C_1 / C_2\right) R_1 / R_2} \qquad 
\omega_0=\frac{\sqrt{1+R_1 / R_3}}{\sqrt{R_1 C_1 R_2 C_2}} \\
& Q=\frac{\sqrt{1+R_1 / R_3}}{\left[1+(1-K) R_1 / R_3\right] \sqrt{R_2 C_2 / R_1 C_1}+\sqrt{R_1 C_2 / R_2 C_1}+\sqrt{R_1 C_1 / R_2 C_2}}
\end{aligned}
$$
此电路没有直接正反馈到 $C_1$，而是使用了额外的反馈电阻 $R_3$，这是为了便于通过调整元件参数控制 $Q$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/KRC滤波器带通.pdf}
    \caption{二阶带通KRC滤波器}
    \label{fig:二阶带通KRC滤波器}
\end{figure}

二阶带阻KRC滤波器结构如图 \ref{fig:二阶带阻KRC滤波器} 所示
\begin{align*}
    &H_{\rm N,0} = K & 
    &\omega_0 = \frac{1}{RC} &
    &Q = \frac{1}{4-2K}
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/KRC滤波器带阻.pdf}
    \caption{二阶带阻KRC滤波器}
    \label{fig:二阶带阻KRC滤波器}
\end{figure}

\subsection{多重反馈滤波器}

二阶多重反馈带通滤波器如图 \ref{fig:多重反馈带通滤波器} 所示
\begin{align*}
    &H_{\mathrm{BP},0}=\frac{-R_2 / R_1}{1+C_1 / C_2} &
    &\omega_0=\frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}} &
    &Q=\frac{\sqrt{R_2 / R_1}}{\sqrt{C_1 / C_2}+\sqrt{C_2 / C_1}} 
\end{align*}
若要获取较大的 $Q$ 则 $H_{\rm BP,0}$ 不可避免地较大\\
可将 $R_1$ 更换为分压电路，衰减输入信号，防止 $H_{\rm BP,0}$ 过大

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/多重反馈带通滤波器.pdf}
    \caption{多重反馈带通滤波器}
    \label{fig:多重反馈带通滤波器}
\end{figure}

输入端分压衰减电路如图 \ref{fig:输入端分压衰减} 所示\\
为防止输入端等效电阻变化导致滤波器性质偏离设计值，必须维持 $R_{1A} \parallel R_{1B} = R_1$\\
假定衰减前后的 $H_{\rm BP,0}$ 分别为 $A_{\rm old}, A_{\rm new}$，则：
$$
\begin{aligned}
    & \frac{R_{1A}R_{1B}}{R_{1A}+R_{1B}}= R_1 \\
    & \frac{V_{\rm oc1}}{V_{\rm oc2}} = \frac{A_{\rm new}}{A_{\rm old}}
\end{aligned}
\qquad\qquad\Longrightarrow\qquad\qquad
\begin{aligned}
    & R_{\rm 1A} = \frac{A_{\rm old}}{A_{\rm new}} R_1 \\
    & R_{\rm 1B} = \frac{R_1}{1-A_{\rm new}/A_{\rm old}}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/输入端分压衰减.pdf}
    \caption{输入端分压衰减}
    \label{fig:输入端分压衰减}
\end{figure}


多重反馈低通滤波器如图 \ref{fig:多重反馈低通滤波器} 所示
\begin{align*}
    &H_{\rm LP,0} = -\frac{R_3}{R_1} &
    &\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_2R_3C_1C_2}} &
    &Q=\frac{\sqrt{C_1 / C_2}}{\sqrt{R_2R_3/R_1^2}+\sqrt{R_3 / R_2}+\sqrt{R_2 / R_3}} 
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/多重反馈低通滤波器.pdf}
    \caption{多重反馈低通滤波器}
    \label{fig:多重反馈低通滤波器}
\end{figure}

利用 $H_{\rm N} = 1 - H_{\rm BP}$ 构造带阻滤波器，如图 \ref{fig:多重反馈带阻滤波器} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/多重反馈带阻滤波器.pdf}
    \caption{多重反馈带阻滤波器}
    \label{fig:多重反馈带阻滤波器}
\end{figure}

\subsection{多运放滤波器}

在同一滤波电路中使用多个运放，提高滤波器性能与功能\\
可同时产生低通/高通/带通等多种响应，也成为通用滤波器

\subsubsection{状态变量滤波器}

状态变量滤波器由一级加法器、两级积分器组成，同时输出高通、带通、低通信号\\
加法器将输入信号、低通信号、带通信号按比例组成高通信号\\
两级积分器将高通信号积分成带通信号、将带通信号积分为低通信号，注意积分器为反相积分

图 \ref{fig:状态变量滤波器} 所示电路的第一级加法器实现了 $-V_{\rm HP} = -\big[V_{\rm i} + (-V_{\rm LP}) - V_{\rm BP}\big]$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1]{figures/状态变量滤波器.pdf}
    \caption{状态变量滤波器（反相）}
    \label{fig:状态变量滤波器}
\end{figure}

图 \ref{fig:状态变量滤波器（同相）} 所示电路的第一级加法器实现了 $V_{\rm HP} = V_{\rm i} - V_{\rm BP} - V_{\rm LP}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/状态变量滤波器_同相.pdf}
    \caption{状态变量滤波器（同相）}
    \label{fig:状态变量滤波器（同相）}
\end{figure}

\subsubsection{双二阶滤波器}

双二阶滤波器不生成高通信号，直接生成带通信号，再积分为低通信号，第三个运放实现单位增益反相器\\
所有运放均工作在反相模式，输入共模电平恒定，滤波器不会受到共模限制的影响

图 \ref{fig:双二阶滤波器} 所示电路的第一级加法器实现了如下表达式
$$
\begin{aligned}
    &I_{\rm i} = \frac{V_{\rm i}}{R_1} \\
    -&I_{\rm HP} = -V_{\rm BP} \cdot sC_1 \\
    -&I_{\rm LP} = \frac{-V_{\rm LP}}{R_5} \\
    -&V_{\rm BP} = -R_2(I_{\rm i} - I_{\rm HP} - I_{\rm LP})
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
-V_{\rm BP} = -(V_{\rm i} - V_{\rm HP} - V_{\rm LP})
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/双二阶滤波器.pdf}
    \caption{双二阶滤波器}
    \label{fig:双二阶滤波器}
\end{figure}

\subsubsection{带阻}

状态变量滤波器、双二阶滤波器都可增加第四个运放，将已有响应组合为带阻响应\\
可以根据需要灵活组成低通带阻、一般带阻、高通带阻，如图 \ref{fig:三种带阻响应} 所示\\
记滤波器的中心频率为 $\omega_0$，带阻滤波器的最大陷波频率为 $\omega_{\rm z}$ \\
只有一般带阻滤波器有 $\omega_{\rm z} = \omega_0$，而低通带阻/高通带阻的 $\omega_{\rm z}$ 与两侧增益比有关需要具体计算

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/三种带阻响应.pdf}
    \caption{三种带阻响应}
    \label{fig:三种带阻响应}
\end{figure}

状态变量滤波器有同相的 $V_{\rm HP}, V_{\rm BP}, V_{\rm LP}$ 信号，
用加法器实现 $V_{\rm N} = A_{\rm LP} V_{\rm LP} + A_{\rm HP}V_{\rm HP}$ 即可

双二阶滤波器只有 $V_{\rm BP}, V_{\rm LP}$，需要用 $V_{\rm N} = V_{\rm in} - 2V_{\rm BP}$ 得到对称带阻信号\\
再加入 $V_{\rm LP}$ 或 $-V_{\rm LP}$ 即可得到低通带阻或高通带阻，如图 \ref{fig:双二阶滤波器带阻} 所示 
\begin{enum}
    \item 开关断路：对称带阻
    \item 开关向左：低通带阻
    \item 开关向右：高通带阻
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/双二阶滤波器带阻.pdf}
    \caption{双二阶滤波器生成带阻信号}
    \label{fig:双二阶滤波器带阻}
\end{figure}



\section{实际运放的限制}

实际运放相比理想运放，除增益有限、输入输出电阻有限外，还存在以下非理想因素：
\begin{enum}
    \item 静态限制：输入偏置电流、输入失调电流、输入失调电压、输入输出摆幅
    \item 动态限制：开环频率响应、输入输出阻抗、瞬态响应
\end{enum}

\subsection{输入偏置/失调电流}

外界需要为运放的正负输入端提供直流偏置电流 $I_{\rm P}, I_{\rm N}$，且由于器件失调 $I_{\rm P}\ne I_{\rm N}$\\
定义输入偏置电流$I_{\rm B}$、输入失调电流 $I_{\rm OS}$
\begin{align*}
    &I_{\rm B} = \frac{I_{\rm P} + I_{\rm N}}{2} &
    &I_{\rm OS} = I_{\rm P} - I_{\rm N}
\end{align*}

常用运放电路在输入源置零时均可用图 \ref{fig:输入偏置/失调电流的影响} 左所示电路表示\\
静态 $I_{\rm N},I_{\rm P}$ 在 $r_{\rm d}$ 上产生了一定的静态偏置电压，相当于正输入端串联一电压源\\
从而输入电流对 $v_{\rm o}$ 造成的影响为：
$$
\begin{aligned}
    E_{\rm o} &= \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) \big[(R_1 \parallel R_2) I_{\rm N} - R_{\rm P} I_{\rm P}\big] \\
              &= \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) \left[\big[(R_1 \parallel R_2)-R_{\rm P}\big]I_{\rm B} 
              - \big[(R_1\parallel R_2) + R_{\rm P}\big]\frac{I_{\rm OS}}{2}\right]
\end{aligned}
$$
可见，取 $R_{\rm P} = R_1 \parallel R_2$ 即可抵消输入偏置电流 $I_{\rm B}$ 对输出的影响\\
输入失调电流的影响无法抵消，只能通过减小电阻值来缓解，但这会增大功耗
$$
E_{\rm o} = -\left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) (R_1 \parallel R_2) I_{\rm OS}
$$


\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/输入偏置电流与失调电流的影响.pdf}
    \caption{输入偏置/失调电流的影响}
    \label{fig:输入偏置/失调电流的影响}
\end{figure}

对图 \ref{fig:输入偏置/失调电流的影响} 右所示电容反馈电路，同样将 $I_{\rm N},I_{\rm P}$ 产生的静态偏置作为输入源加在正输入端
$$
\begin{aligned}
    I_{\rm C} &= \frac{1}{R} (RI_{\rm N} - R_{\rm P}I_{\rm P}) \\
              &= \frac{1}{R} \big[(R-R_{\rm P})I_{\rm B} - (R+R_{\rm P})I_{\rm OS}/2\big]
\end{aligned}
$$
在 $R=R_{\rm P}$ 时输入偏置电流的影响被抵消，但 $I_{\rm OS}$ 仍在无输入信号的情况下产生静态 $I_{\rm C}$，使运放最终饱和

\subsubsection{低输入电流运放}

要实现尽量小的输入电流 $I_{\rm B},I_{\rm os}$，常用如下方法：
\begin{enum}
    \item 输入级采用超高电流放大倍数的SuperBeta晶体管
    \item 在内部增加额外电路补偿输入电流（Input-bias-current cancellation）
    \item 输入级采用MOSFET/JFET晶体管
\end{enum}

采用SuperBeta晶体管的运放输入级如图 \ref{fig:低输入电流运放结构} 左所示，$\rm Q_1,Q_2$ 是SuperBeta晶体管来实现低输入电流\\
$\rm Q_5,Q_6$ 构成自举电路，钳制 $\rm Q_1,Q_2$ 的 $V_{\rm BC} = 0$，避免了SuperBeta晶体管易击穿的缺点

采用输入电流补偿的运放输入级如图 \ref{fig:低输入电流运放结构} 右所示\\
其中 $\rm Q_5, D_5$ 等效为一个 $\beta=1$ 的三极管，将 $I_{\rm B3}$ 复制到 $\rm Q_1$ 基极，使外界无需为 $\rm Q_1$ 提供偏置电流\\
这里 $\rm Q_5,D_5$ 结面积比需取合适值，从而对 $I_{\rm B3}$ 产生一定比例的分流，最终分流比与 $\beta_5$ 互相抵消

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/输入偏置电流与失调电流减小.pdf}
    \caption{低输入电流运放结构}
    \label{fig:低输入电流运放结构}
\end{figure}

MOSFET输入级的输入电阻极大，其静态输入电流主要来源于ESD保护二极管\\
两ESD保护二极管的反偏电流大部分可互相抵消，但输入电压会使两者不完全相等，形成静态输入电流

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/输入偏置电流与温度.pdf}
    \caption{各类输入级的偏置电流及其与温度的关系}
    \label{fig:各类输入级的偏置电流及其与温度的关系}
\end{figure}

各种输入级的运放的典型输入电流特性如图 \ref{fig:各类输入级的偏置电流及其与温度的关系} 所示\\
在一般温度下，用FET输入级的偏置电流远小于各类BJT输入级\\
各类BJT输入级的偏置电流随温度增加而减小，FET输入级的偏置电流随温度增加而指数增加

\subsection{输入失调电压}

考虑运放输入失调电压 $V_{\rm OS}$ 时的电压传输特性：
$$
v_{\rm o} = a \big[v_{\rm p} - v_{\rm n} + V_{\rm OS}\big]
$$
其中 $V_{\rm OS}$ 前取加或减都无关紧要，因为 $V_{\rm OS}$ 本身是正负不定的

输入失调电压可等效为运放正输入端的独立源 $V_{\rm OS}$\\
在一般的电阻反馈运放电路中，这相当于正向放大器，从而 $V_{\rm OS}$ 被放大 $1+R_2/R_1$ 倍到达输出端\\
在一般的电容反馈运放电路中，$V_{\rm OS}$ 也将在电容上产生持续的充电电流，最终使电路饱和

运放的 $V_{\rm OS}$ 与温度有关，其线性相关系数记为 $\mathrm {TC}(V_{\rm OS})$
$$
V_{\rm OS}(T) = V_{\rm OS0} + \mathrm{TC}(V_{\rm OS}) \times \Delta T
$$

\subsubsection{等效输入失调电压}

除输入失调电压外，运放的其他非理想性也会对运放输出电压产生影响，这与输入失调电压相似\\
可以将其他非理想因素造成的影响都等效为 $V_{\rm OS}$ 的作用，从而简化分析

考虑运放的共模抑制比不为 $\infty$，则运放的传输特性为：
\begin{align*}
    v_{\rm o} &= a(v_{\rm p} - v_{\rm n}) + a_{\rm cm}\cdot \Delta v_{\rm cm} \\
              &= a\left(v_{\rm p} - v_{\rm n} + \frac{a_{\rm cm}}{a} \cdot \Delta v_{\rm cm}\right) \\
              &= a\left(v_{\rm p} - v_{\rm n} + \frac{\Delta v_{\rm cm}}{\mathrm{CMRR}}\right)
\end{align*}
可见，$\Delta v_{\rm cm}/\mathrm{CMRR}$ 的作用与 $V_{\rm OS}$ 相同，可等效到 $V_{\rm OS}$\\
完全相似，可将PSRR的非理想性等效到 $V_{\rm OS}$
\begin{align*}
    &V_{\rm OS,eq1} = \frac{\Delta v_{\rm cm}}{\mathrm {CMRR}} &
    &V_{\rm OS,eq2} = \frac{\Delta V_{\rm S}}{\mathrm {PSRR}}
\end{align*}

运放的有限增益的非理想型也可等效到 $V_{\rm OS}$，如图 \ref{fig:用输入失调电压等效表示有限开环增益的影响} 所示
$$
\begin{aligned}
    v_{\rm o} &= \frac{A_{\rm ideal}}{1+1/(a\beta)} v_{\rm i} \approx A_{\rm ideal} \left(1 - \frac{1}{a\beta}\right) v_{\rm i} \\
    v_{\rm o} &= A_{\rm ideal} v_{\rm i} + \frac{1}{\beta} V_{\rm OS,eq}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
V_{\rm OS,eq3} = \frac{v_{\rm o}}{a}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/等效输入失调电压有限增益.pdf}
    \caption{用输入失调电压等效表示有限开环增益的影响}
    \label{fig:用输入失调电压等效表示有限开环增益的影响}
\end{figure}

综合以上，可将 $V_{\rm OS}$ 表示为 
$$
V_{\rm OS} = V_{\rm OS0} + \mathrm{TC}(V_{\rm OS}) \cdot \Delta T + \frac{\Delta v_{\rm cm}}{\mathrm {CMRR}}
             + \frac{\Delta V_{\rm S}}{\mathrm{PSRR}} + \frac{\Delta v_{\rm o}}{a}
$$
其中 $V_{\rm OS0}$ 是某一已知静态工作点的输入失调电压

\subsubsection{低输入失调电压运放}

运放本身的输入失调电压主要由输入级晶体管失配引起，此外还与有源电流镜失配有关\\
BJT与MOS输入级、有源电流镜失配产生的输入失调电压可写为如下形式
\begin{align*}
    V_{\rm os,BJT} &\approx \frac{kT}{q} 
    \sqrt{ \left(\frac{\Delta I_{\rm sp}}{I_{\rm sp}}\right)^2 +\left(\frac{\Delta I_{\rm sn}}{I_{\rm sn}}\right)^2},
    \hspace{1cm} I_{\rm s} = \frac{qD_{\rm B}A_{\rm E}}{N_{\rm B}W_{\rm B}}{n_{\rm i}^2} \\
    V_{\rm os,MOS} &\approx \frac{V_{\rm OV,in}}{2} 
    \sqrt{ \left(\frac{\Delta k_{\rm n}}{k_{\rm n}}\right)^2 + \left(\frac{\Delta k_{\rm p}}{k_{\rm p}}\right)^2 + 
    \left(\frac{\Delta V_{\rm TH,n}}{0.5V_{\rm OV,p}}\right)^2 + 
    \left(\frac{\Delta V_{\rm TH,p}}{0.5V_{\rm OV,n}}\right)^2  }
\end{align*}
由于MOS输入级的 $V_{\rm OS}$ 与更多物理量有关，且 $V_{\rm OV} > kT/q$，通常MOS运放的输入失调电压大于BJT运放

输入失调取决于晶体管失配，而晶体管失配主要由以下因素产生：
\begin{enum}
    \item 掺杂浓度与器件尺寸的工艺波动
    \item 机械应力
    \item 温度梯度
\end{enum}

绘制版图时，输入级应当采用共质心结构，以尽量减少失配，如图 \ref{fig:输入级共质心结构} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/输入级共质心结构.pdf}
    \caption{输入级共质心结构}
    \label{fig:输入级共质心结构}
\end{figure}

由于失配无法根除，有时需要采用其它方式补偿使 $V_{\rm os}$ 尽量小

\subsubsection{自动调零与斩波稳定}

自动调零技术引入了额外的调零放大器，利用反馈环路自动调整主运放调零端电压（S模式）\\
调零放大器本身也需要调零，可以短接其正负输入端，利用其自身的输出调整其自身的调零端（A模式）\\
用片上的振荡器实现两种模式的自动切换，使自动调零过程对用户透明

由于引入了时钟信号，自动调零运放存在一定的时钟馈通噪声

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/自动调零技术.pdf}
    \caption{自动调零技术}
    \label{fig:自动调零技术}
\end{figure}

斩波稳定技术将输入信号调制到更高频率，以避免直流失调与低频噪声的影响，在输出端再将信号解调到原频率\\
斩波稳定运放存在一定的频率混叠问题

\subsubsection{针对性微调}

可以针对某片特定元件、在某一特定工作条件下微调，以使 $V_{\rm os}$ 尽量小\\
对大批量产品，特调会显著增加成本，且调整效果随工作条件和时间漂移

部分型号运放在出厂前已被调零，通过逐片检测运放参数并用熔丝等手段改变运放内部电路，可减小其 $V_{\rm OS}$\\
用户也可自行调零运放，分为内部调零与外部调零

对已搭建好的特定电路，做针对性微调不仅可以补偿 $V_{\rm os}$ 的影响，还可一并补偿 $I_{\rm os}$ 的影响

\paragraph{内部失调调零}

对于有调零引脚的运放，可以接调零电位器，如图 \ref{fig:内部调零电路} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/内部调零电路.pdf}
    \caption{内部调零电路}
    \label{fig:内部调零电路}
\end{figure}

内部调零范围具有一定限制，若 $I_{\rm os}$ 引起的失调过大，就需要减小外部电阻值\\
内部调零是人为使输入级失调，可能会恶化运放的CMRR、PSRR等性能

\paragraph{外部失调调零}

在设计好的运放电路中引入额外的源，补偿失调对输出的影响\\
外部失调调零没有使运放内部失衡，不会恶化CMRR、PSRR等性能指标

反相放大器、积分器的外部调零如图 \ref{fig:反相放大器、积分器的外部调零} 所示\\
只需将正输入端的接地点改为可调电压 $V_{X}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/外部调零电路1.pdf}
    \caption{反相放大器、积分器的外部调零}
    \label{fig:反相放大器、积分器的外部调零}
\end{figure}

同相放大器的外部调零如图 \ref{fig:同相放大器的外部调零} 所示\\
未避免干扰增益，必须减小 $R_1$ 以使 $R_1+R_{\rm eq}$ 等于原来的 $R_1$\\
由于 $R_{\rm eq}$ 随调零位置变化而变化，需要使 $R_{\rm eq} \ll R_1$，常取 $R_{\rm A}$ 为小电阻
 
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/外部调零电路2.pdf}
    \caption{同相放大器的外部调零}
    \label{fig:同相放大器的外部调零}
\end{figure}

\subsection{输入范围与输出摆幅}

输入范围是使输入级处于正常工作区的 $V_{\rm in,p}, V_{\rm in,n}$ 范围\\
输出摆幅是使输出级处于正常工作区的 $V_{\rm out}$ 范围

依据运放输入级、输出级的具体电路结构可以确定其正常工作范围（举例略）

\subsubsection{轨至轨运放}

输入级采用两对并联的N、P折叠Cascode对管\\
在 $V_{\rm SS} \le V_{\rm in,cm} \le V_{\rm DD}$ 范围内P、N输入至少有一个正常工作以提供跨导\\
输出级采用Class-AB结构，对BJT输出级可近似轨至轨输出，对MOS输出级可完全轨至轨输出

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/轨至轨运放结构BJT.pdf}
    \caption{BJT轨至轨运放结构}
    \label{fig:轨至轨运放结构BJT}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/轨至轨运放结构MOS.pdf}
    \caption{MOS轨至轨运放结构}
    \label{fig:轨至轨运放结构MOS}
\end{figure}

轨至轨输入级在全电压范围内的工况并不恒定\\
低电平只有P输入级工作，中间电平P与N输入级均工作，高电平只有N输入级工作\\
由此，在整个输入电压范围内运放的 $V_{\rm os}, I_{\rm os}, I_{\rm B}, g_{\rm m}$ 均不恒定

Class-AB轨至轨输出级虽然可获得较大的输出摆幅，但代价是输出电阻很大

\subsection{Maximum Ratings}

最大额定值（Maximum Ratings）规定了运放的工作环境与电气限制，超限工作则会使之工作故障甚至损坏\\
绝对最大额定值（Absolute Maximum Ratings）规定了绝对不可超出的工作限制，超限则发生不可逆损坏

最大额定值通常包括以下项：
\begin{enum}
    \item 最大供电电压
    \item 最大差模输入电压
    \item 最大共模输入电压
    \item 最大功耗
\end{enum}

\subsection{频率特性}
\subsubsection{开环频率特性}

实际运放通常采用两级放大、密勒补偿的电路结构，满足单极点近似，在所关注的频率范围内不考虑高频极点
\begin{align*}
    &\omega_{\rm b} = \frac{1}{R_{\rm eq1}C_{\rm eq1}} \\
    &a(s) = \frac{a_0}{1+s/\omega_{\rm b}}\\
    &\mathrm{GBP} = |a(\rmj f)|\cdot f = \mathrm{const} \\
    &\mathrm{GBP} = f_{\rm t} = a_0\cdot f_{\rm b} = \frac{g_{\rm m}}{2\pi C_{\rm c}}
\end{align*}
在高频渐近线上增益带宽积 $\mathrm{GBP} = |a(\rmj f)|\cdot f = \mathrm{const}$ 且对单极点系统 $\mathrm{GBP} \approx f_{\rm t}$\\
单位增益频率 $f_{\rm t}$ 在工程上通常容易估算\\
例如对于741运放 $I_{\rm A},C_{\rm c}$ 都是设计值，可以按下式估算 $f_{\rm t}$
$$
f_{\rm t} = \frac{g_{\rm m}}{2\pi C_{\rm c}} = \frac{I_{\rm A}}{8\pi V_{T} C_{\rm c}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/运放的开环频率响应1.pdf}
    \qquad
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/运放的开环频率响应2.pdf}
    \caption{运放的开环频率响应}
    \label{fig:运放的开环频率响应}
\end{figure}

\subsubsection{环路频率特性}

运放电路的环路增益（返回比）
$$
T(\rmj\omega) = a(\rmj\omega) \cdot \beta(\rmj\omega)
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\begin{aligned}
    & |T|_{\rm dB} = |a|_{\rm dB} - |1/\beta|_{\rm dB} \\
    & \angle T = \angle a - \angle(1/\beta)
\end{aligned}
$$
其中 $a(\rmj\omega)$ 由运放的数据手册给出，而 $\beta(\rmj\omega)$ 由所设计的电路决定\\
在Bode图上 $a(\rmj\omega),\beta(\rmj\omega)$ 两曲线做差即可得到 $T(\rmj\omega)$ 曲线

\begin{quote}
    计算 $\beta$ 与计算 $T$ 的过程完全类似，实际上就是利用 $\beta = T/a$ \\
    在运放输出端加 $V_{\rm T}$ 后在运放输入端获得 $V_{\rm d}$ 则 $\beta = -V_{\rm d}/V_{\rm T}$
\end{quote}

运放电路的环路频率特性Bode图如图 \ref{fig:运放电路的环路频率响应} 所示\\
对于纯电阻反馈网络，$1/\beta(\rmj\omega)$ 是常数，$T(\rmj\omega)$ 的 $-3\;\rm dB$ 带宽即为运放的 $-3\;\rm dB$ 带宽 $\omega_{\rm b}$ 
$$
T(\rmj\omega) = \frac{T_0}{1+\rmj\omega/\omega_{\rm b}} = \frac{a_0 \beta}{1+\rmj\omega/\omega_{\rm b}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/运放电路的环路频率响应.pdf}
    \caption{运放电路的环路频率响应}
    \label{fig:运放电路的环路频率响应}
\end{figure}

\subsubsection{闭环频率特性}

由于环路增益 $T$ 依赖于频率，闭环响应特性 $A$ 也将依赖于频率\\
在忽略馈通的近似条件下：
$$
\begin{aligned}
    A(\rmj\omega) &= \frac{A_{\rm ideal}}{1 + 1/T(\rmj\omega)} + \frac{a_{\rm ft}}{1+T(\rmj\omega)} \\
                  &\approx \frac{A_{\rm ideal}}{1 + \dfrac{1+\rmj\omega/\omega_{\rm b}}{T_0}} \\
                  &= \frac{A_{\rm ideal}}{1+1/T_0} \cdot \frac{1}{1+ \dfrac{\rmj\omega}{(1+a_0\beta)\omega_{\rm b}}}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\begin{aligned}
    &A(\rmj\omega)  = A_0 \cdot \frac{1}{1+\rmj\omega/\omega_{\rm B}} \\
    &A_0            = \frac{A_{\rm ideal}}{1+1/T_0} \\
    &\omega_{\rm B} = (1+a_0\beta)\omega_{\rm b} \approx \beta a_0\omega_{\rm b} = \beta \cdot \omega_{\rm t}
\end{aligned}
$$
可见，反馈环路使运放电路的带宽大于运放自身的带宽

运放正输入端为系统输入时，开环和闭环系统具有相同的单位增益带宽 $\omega_{\rm t}$
$$
\omega_{\rm B} = (1+a_0\beta)\omega_{\rm b}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{a_0}{1+\beta a_{0}} \omega_{\rm B} = a_0\omega_{\rm b} = \mathrm {GBP} = \omega_{\rm t}
$$
也就是说，$\omega_{\rm B} \approx \beta \omega_{\rm t}$ 刚好是 $|A| \approx 1/\beta$ 水平线与运放开环 $|a(\rmj\omega)|$ 的交点频率\\
据此可利用 $\omega_{\rm t}$ 方便地确定闭环带宽  $\omega_{\rm B}$

\begin{quote}
    注意上面的 $A_{\rm ideal}, A_0$ 不一定是无量纲的，对于跨阻/跨导放大器 $A_{\rm ideal}$ 有量纲\\
    对于滤波器电路，$A_{\rm ideal}$ 本身是频率的函数
\end{quote}

下面讨论常见运放电路的闭环频率特性

\paragraph{同相放大器}

同相放大器的频率特性如图 \ref{fig:闭环频率特性_同相放大器} 所示
$$
\mathrm{GBP}_{\rm noninv} = f_{\rm t,noninv} = f_{\rm t}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/闭环频率特性_同相放大器.pdf}
    \caption{同相放大器的闭环频率特性}
    \label{fig:闭环频率特性_同相放大器}
\end{figure}

\paragraph{反相放大器}

反相放大器的 $\beta$ 有同相放大器的 $\beta$ 具有相同的表达式，因此两电路的 $-3\;\rm dB$ 带宽 $\omega_{\rm B}$ 相等\\
反相放大器的 $A_0$ 是同相放大器的 $R_2/(R_1+R_2)$ 倍，这使反相放大器的单位增益频率较小
$$
f_{\rm t,inv} = \mathrm{GBP}_{\rm inv} = |A_{0,\rm inv}| \omega_{\rm B} 
= \frac{R_2}{R_1+R_2} \mathrm {GBP}_{\rm noninv} = \frac{R_2}{R_1+R_2} f_{\rm t} = (1-\beta) f_{\rm t}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/闭环频率特性_反相放大器.pdf}
    \caption{反相放大器的闭环频率特性}
    \label{fig:闭环频率特性_反相放大器}
\end{figure}

\paragraph{跨阻放大器}

图 \ref{fig:闭环频率特性_跨阻放大器} 所示跨阻放大器的频率响应可依据 $|A_0|, \omega_{\rm B}$ 绘制
\begin{align*}
    & \beta = \frac{r_{\rm d}}{r_{\rm d}+R+r_{\rm o}} &
    & \omega_{\rm B} \approx \beta \omega_{\rm t} &
    & |A_0| = R
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/闭环频率特性_跨阻放大器.pdf}
    \caption{跨阻放大器的闭环频率特性}
    \label{fig:闭环频率特性_跨阻放大器}
\end{figure}

由于量纲不同，闭环频率响应曲线不与运放开环频率响应画在一起\\
跨阻/跨导放大器一般不讨论单位增益频率，因为其“单位增益”本身是有量纲的

\paragraph{跨导放大器}

图 \ref{fig:闭环频率特性_跨导放大器} 所示跨导放大器的频率响应可依据 $|A_0|, \omega_{\rm B}$ 绘制
\begin{align*}
    & \beta = \frac{ r_{\rm d} \parallel R }{ r_{\rm d} \parallel R + R_{\rm L} + r_{\rm o}}
    & \omega_{\rm B} \approx \beta \omega_{\rm t} &
    & |A_0| = \frac{1}{R}
\end{align*}
由于量纲不同，闭环频率响应曲线不与运放开环频率响应画在一起\\
跨阻/跨导放大器一般不讨论单位增益频率，因为其“单位增益”本身是有量纲的

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/闭环频率特性_跨导放大器.pdf}
    \caption{跨导放大器的闭环频率特性}
    \label{fig:闭环频率特性_跨导放大器}
\end{figure}

\subsubsection{闭环输入输出阻抗}

由于 $T$ 随频率变化，根据布莱克曼公式，闭环端口阻抗将具有一定的频率特性\\
下面主要考虑串联端口与并联端口两种情况
$$
\begin{aligned}
Z_{\rm se} 
&= z_0 (1+T) = z_0 \left(1 + \frac{T_0}{1+\rmj\omega/\omega_{\rm b}}\right) 
 = z_0(1+T_0) \cdot \frac{1+\rmj\omega/\omega_{\rm B}}{1+\rmj\omega/\omega_{\rm b}} \\
Z_{\rm sh}
&= \frac{z_0}{1+T} = z_0 \left(1 + \frac{T_0}{1+\rmj\omega/\omega_{\rm b}}\right)^{-1}
 = \frac{z_0}{1+T_0} \cdot \frac{1+\rmj\omega/\omega_{\rm b}}{1+\rmj\omega/\omega_{\rm B}}\\
    \omega_{\rm B} &= (1+a_0\beta) \omega_{\rm b}
\end{aligned}
$$
绘制闭环输入输出阻抗的频率响应曲线如图 \ref{fig:闭环输入输出阻抗特性} 所示\\
在 $f_{\rm b}$ 频率，负反馈对端口阻抗的优化作用开始减弱\\
在 $f_{\rm B}$ 频率，负反馈对端口阻抗的优化作用完全消失（即使这时闭环幅度响应才下降 $3\;\rm dB$）

串联端口：低频呈现阻性 $Z_{\rm se0}$，中频呈现阻容串联特性 $1/(\rmj\omega C_{\rm eq})+Z_{\rm se\infty}$，
          高频呈现阻性 $Z_{\rm se\infty}$\\
并联端口：低频呈现阻性 $Z_{\rm sh0}$，中频呈现阻感并联特性 $\rmj\omega L \parallel Z_{\rm sh\infty}$，
          高频呈现阻性 $Z_{\rm sh\infty}$\\
中频段 $\omega_{\rm b} \ll \omega \ll \omega_{\rm B}$ 的端口阻抗为：
$$
\begin{aligned}
    Z_{\rm se} &= z_0(1+T_0) \cdot \frac{1+\rmj\omega/\omega_{\rm B}}{1+\rmj\omega/\omega_{\rm b}} \\
               &\approx z_0(1+T_0) \cdot \frac{1+\rmj\omega/\omega_{\rm B}}{\rmj\omega/\omega_{\rm b}} \\
               &= z_0(1+T_0)\omega_{\rm b} \cdot \left(\frac{1}{\rmj\omega} + \frac{1}{\omega_{\rm B}}\right)\\
               &= \frac{1}{\rmj\omega\cdot (z_0(1+T_0)\omega_{\rm b})^{-1}} + z_0\\
    Z_{\rm sh} &= \frac{z_0}{(1+T_0)\omega_{\rm b}} \cdot \left(\frac{1}{\rmj\omega} + \frac{1}{\omega_{\rm B}}\right)^{-1}\\
               &= \left[\frac{1}{\rmj\omega\cdot z_0/(1+T_0)\omega_{\rm b}} + \frac{1}{z_0} \right]^{-1}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\begin{aligned}
    &Z_{\rm se0} = z_0(1+T_0) \\
    &Z_{\rm se\infty} = z_0 \\
    &C_{\rm eq} = \frac{1}{Z_{\rm se0}\omega_{\rm b}} \\
    \quad\\
    &Z_{\rm sh0} = \frac{z_0}{1+T_0}\\
    &Z_{\rm sh\infty} = z_0 \\
    &L_{\rm eq} = \frac{Z_{\rm sh0}}{\omega_{\rm b}} = \frac{Z_{\rm sh\infty}}{\omega_{\rm B}} \\
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/闭环输入输出阻抗特性.pdf}
    \caption{闭环输入输出阻抗特性}
    \label{fig:闭环输入输出阻抗特性}
\end{figure}

综上，串联端口在某些频段呈现一定的容性，并联端口在某些频段呈现一定的感性\\
这些等效的电容/电感在某些情况下可能造成电路不稳定或振铃

\subsection{瞬态响应}

\emph{上升时间}：电压变化从 $10\%$ 到 $90\%$ 所耗费的时间\\
一阶系统小信号响应的上升时间：
\begin{align*}
    &H(\rmj\omega) = \frac{1}{1 + \rmj\omega/\omega_{\rm p}} &
    &v_{\rm o}(t) = V_{\rm m} (1 - \rme^{-t/\tau}) &
    &t_{\rm r} = \ln 9 \cdot \tau = \frac{\ln 9}{\omega_{\rm p}}
\end{align*}

\emph{压摆率}：输出端电压的最大斜率\\
对一阶系统阶跃响应，输入阶跃时刻斜率最大，不发生压摆的最大阶跃电压为
$$
v_{\rm o}'(t)_{\rm max} = V_{\rm om} \cdot \frac{1}{\tau} < \mathrm{SR} 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
V_{\rm om(crit)} = \frac{\mathrm{SR}}{\omega_{\rm p}}
$$

输出幅度为 $A$ 角频率为 $\omega$ 的正弦信号，所需要的最小压摆率
$$
\mathrm{SR} > A\cdot \omega
$$
\emph{全功率带宽}（FPB）：运放输出最大幅度 $V_{\rm sat}$ 的正弦波，受压摆率限制所能输出的最大频率
$$
\mathrm {SR} > V_{\rm sat} \cdot (2\pi \cdot \mathrm{FPB})
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\mathrm{FPB} = \frac{\mathrm{SR}}{2\pi V_{\rm sat}}
$$

\emph{建立时间}（settling time）描述了大小信号混合响应的最终延时，其值与允许的误差带宽度有关，
如图 \ref{fig:建立时间的定义} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/建立时间.pdf}
    \caption{建立时间的定义}
    \label{fig:建立时间的定义}
\end{figure}

减小建立时间的方法：
\begin{enum}
    \item 减短元件引线长度
    \item 使用金属膜电阻
    \item 恰当地布置元件，减小杂散电容与连线电感
    \item 电源旁路滤波
    \item 给输入、负载、反馈网络提供独立的接地回路
\end{enum}

\subsection{非理想运放对积分器的影响}

非理想运放（有限增益、单极点、有限输入输出电阻）搭建的积分器电路的频率响应如图 \ref{fig:非理想运放对积分器的影响} 所示
\begin{enum}
\item 在中频段（$f_{\rm b} < f < f_{\rm t}$）传递函数接近理想
\item 在低频段，$C$ 近似断路，系统传递函数贴近开环运放的传递函数
\item 在高频段，$C$ 近似短路且运放无增益，系统传递函数近似为 $a_{\rm ft}$
\item 在中低频段，积分器与一个较低频率的开环运放相似
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \ffigbox[\FBwidth]{
        \begin{subfloatrow}
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{积分器电路}}{
                \includegraphics[scale=1.20]{figures/积分器2.pdf}
            }
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{开环、闭环频率响应}}{
                \includegraphics[scale=1.20]{figures/运放有限GBP对积分电路的影响.pdf}
            }
        \end{subfloatrow}
    }{
    \caption{非理想运放对积分器的影响}
    \label{fig:非理想运放对积分器的影响}
    }
\end{figure}

在所关注的中低频段，可认为 $a_{\rm ft} \approx 0$，从而：
\begin{align*}
    & H_{\rm ideal}(\rmj\omega) = \frac{-1}{\rmj\omega C \cdot R} = \frac{-1}{\rmj\omega/\omega_{\rm 0,ideal}} \\
    & H(\rmj\omega) \approx H_{\rm ideal}(\rmj\omega) \cdot \frac{1}{1+1/T(\rmj\omega)} \\
    & \beta(\rmj\omega) = \frac{R\parallel r_{\rm d}}{R\parallel r_{\rm d}+r_{\rm o}} \cdot 
    \frac{\rmj\omega/\big[C(R\parallel r_{\rm d} + r_{\rm o})\big]}{\rmj\omega/\big[C(R\parallel r_{\rm d} + r_{\rm o})\big]+1}
    = \beta_{\rm \infty} \cdot \frac{\rmj\omega/\omega_1}{1+\rmj\omega/\omega_1}
\end{align*}

在积分器有效的 $f_{\rm b} < f < f_{1}$ 频率范围内 $a(\rmj\omega), \beta(\rmj\omega)$ 均取渐近线，$T$ 近似与 $\omega$ 无关
$$
\begin{aligned}
&T(\rmj\omega) = a\cdot \beta \approx \frac{a_0}{\rmj\omega/\omega_{\rm b}} \cdot \big[\beta_\infty \cdot (\rmj\omega/\omega_1)\big]
= \beta_\infty \cdot \frac{a_0 \omega_{\rm b}}{\omega_1} 
= \beta_\infty \cdot \frac{\omega_{\rm t}}{\omega_1} \\
&H(\rmj\omega) = \frac{-1}{\rmj\omega/\omega_{\rm 0,ideal}} \cdot \frac{1}{1+1/T} 
= \frac{-1}{\rmj\omega/\omega_{\rm 0,actual}}\\
& \omega_{\rm 0,actual} = \frac{\omega_{\rm 0,ideal}}{1+1/T}
\end{aligned}
$$
可见：积分器的单位增益频率 $\omega_{\rm 0}$受运放限制而减小，也就使增益较设计值偏小，引入幅度误差\\
由于此时环路增益 $T=\beta_{\infty}\cdot \omega_{\rm t}/\omega_1$ 并不大，使幅度误差可能比较可观\\
在本例中 $\beta_{\infty} \approx 1$，$T\approx 9$，使 $\omega_{\rm 0,actual} \approx 0.9 \omega_{\rm 0,ideal}$

在积分器刚开始失效的 $f_1 < f < f_{\rm t}$ 范围内
$$
\begin{aligned}
&\beta(\rmj\omega) \approx 1 \\
&T(\rmj\omega) = a\cdot\beta \approx \frac{a_0}{\rmj\omega/\omega_{\rm b}} = \frac{\omega_{\rm t}}{\rmj\omega} \\
&H(\rmj\omega) = \frac{-1}{\rmj\omega/\omega_{\rm ideal}} \cdot \frac{1}{1+\rmj\omega/\omega_{\rm t}}
\end{aligned}
$$
可见：实际积分器的 $H(s)$ 存在 $f_{\rm t}$ 极点，使其在 $f_{\rm t}$ 附近的相移滞后于理想值 $90^\circ$，引入相位误差\\
一般来说最关注在 $f\approx f_{\rm 0}$ 附近频率的积分器响应，因此应设计 $f_{\rm 0,ideal} \ll f_{\rm t}$ 来尽量减小相位误差\\
也可引入一定的相位超前做补偿

\subsubsection{积分器的相位补偿}

要补偿积分器的相位误差，需要补偿极点 $f=f_{\rm t}$ 的影响，可以引入同频率零点\\
积分器的无源补偿可利用图 \ref{fig:积分器的无源补偿} 所示的两种电路，称零极点相消技术，补偿元件的参数分别为：
\begin{align*}
    &C_{\rm c}s + \frac{1}{R} = 0 &
    &\qquad\Longrightarrow\qquad &
    &s_{\rm z} = -\frac{1}{C_{\rm c}R} = -\omega_{\rm t} &
    & \qquad\Longrightarrow\qquad  &
    &C_{\rm c} = \frac{1}{2\pi R f_{\rm t}} \\ 
    &\frac{1}{Cs} + R_{\rm c} = 0 &
    &\qquad\Longrightarrow\qquad &
    &s_{\rm z} = -\frac{1}{R_{\rm c}C} = -\omega_{\rm t} &
    &\qquad\Longrightarrow\qquad  &
    &R_{\rm c} = \frac{1}{2\pi C f_{\rm t}}
\end{align*}
无源补偿需要针对每片运放的 $f_{\rm t}$ 设计 $C_{\rm c},R_{\rm c}$，且由于 $f_{\rm t}$ 对PVT波动较敏感，补偿效果难以维持

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/积分器的无源补偿.pdf}
    \caption{积分器的无源补偿}
    \label{fig:积分器的无源补偿}
\end{figure}

积分器的有源补偿可利用图 \ref{fig:积分器的有源补偿} 所示两种电路\\
其中两运放匹配度很好，用一个运放的非理想频率响应补偿另一个相同的运放

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/积分器的有源补偿.pdf}
    \caption{积分器的有源补偿}
    \label{fig:积分器的有源补偿}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.20]{figures/积分器的有源补偿效果.pdf}
    \caption{积分器的有源补偿效果}
    \label{fig:积分器的有源补偿效果}
\end{figure}

\subsection{非理想运放对滤波器的影响}

运放的非理想性会使双积分环路滤波器（状态变量滤波器、双二阶滤波器）的 $Q$ 值大于设计值\\
且滤波器的中心频率 $f_0$ 也会发生偏移\\
可以使用上一节所述无源/有源的相位补偿方法来缓解这一问题

对滤波器来说，通常需要使运放的增益带宽积比滤波器的 $Qf_0$ 大一个数量级以上\\
也可以借助仿真工具在设计阶段做预失真，使实际滤波器性能更接近期望值
    
\section{开关电容电路}

\renewcommand{\myfigscaleratio}{1.10}

\subsection{采样开关}

MOS管可视为栅控开关，用来传导电压信号，用一电容与之串联即可受控采样\\
NMOS传导高电平有阈值损失，PMOS传导低电平有阈值损失，互补传输门无阈值损失\\
以下对电路的分析认为处于正常的 $V_{\rm in}$ 范围内，不考虑阈值损失

\begin{quote}
    在 $V_{\rm DD} < V_{\rm THN} + V_{\rm THP}$ 时以上可以使用自举电路（Bootstrap）驱动NMOS开关\\
    可以维持 $V_{\rm GS}$ 恒定而不随 $V_{\rm in}$ 变化，开关线性度好
\end{quote}

CMOS互补传输门具有无阈值损失、导通电阻小且较恒定、电荷注入与时钟馈通较弱等优势\\
其劣势在于需要严格对齐的互补时钟信号，否则互补开关不同时断开可能引起采样失真，如图 \ref{fig:互补开关不同时断开引发失真} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \ffigbox[\FBwidth]{
        \begin{subfloatrow}
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{互补开关不同时断开引起采样失真}}{
                \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/互补开关不同时断开引发失真.pdf}
                \label{fig:互补开关不同时断开引发失真}
            }
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{互补时钟的简易生成电路}}{
                \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/互补时钟的简易生成.pdf}
                \label{fig:互补时钟的简易生成}
            }
        \end{subfloatrow}
    }{
    \caption{互补传输门的互补时钟}
    \label{fig:互补传输门的互补时钟}
    }
\end{figure}

\subsubsection{速度问题}

开关电路的速度用建立时间 $t_{\rm s}$ 表征，一般定义为电压变化完成 $99.9\%$ 即误差 $0.1\%$ 所用时间\\
对于一阶RC电路，若要达到 $0.1\%$ 精度则 $t_{\rm s} \approx 7\tau = 7RC$\\
MOS管的导通电阻 $R_{\rm on}$ 与电容值 $C$ 决定了采样速度，MOS开关与传输门的导通电阻如图 \ref{fig:MOS开关导通电阻} 所示\\
要增大采样速度，需要减小电容值 $C$（使噪声变大），或减小导通电阻（MOS开关面积增大）

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/MOS开关导通电阻.pdf}
    \caption{MOS开关导通电阻}
    \label{fig:MOS开关导通电阻}
\end{figure}

开关电容电路的最大工作频率取决于采样速度，也即 $t_{\rm s}\approx 7RC$\\
而最小工作频率取决于电容漏电速度，随温度变化较大

\subsubsection{精度问题}

开关采样精度受限于以下几个非理想效应
\begin{enum}
    \item 电荷注入：MOS开关关断瞬间，沟道电荷部分注入到电容中，使采样电压突变
    \item 时钟馈通：时钟信号经由MOS寄生电容耦合到采样电容中，使采样电压突变
    \item $kT/C$噪声：一阶RC低通电路的噪声对于MOS等效导通电阻仍有类似结论，在采样电压上存在噪声
\end{enum}

\paragraph{电荷注入}

MOS开关关断瞬间，沟道电荷 $Q=WLC_{\rm ox}(V_{\rm DD}-V_{\rm in}-V_{\rm TH})$ 中的一部分注入到电容 $C_{\rm H}$ 中，使采样电压突变

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/MOS开关电荷注入.pdf}
    \caption{MOS开关的电荷注入效应}
    \label{fig:MOS开关电荷注入}
\end{figure}

注入电荷量与被采样电压 $V_{\rm in}$ 有关，引起采样增益误差、采样电压偏移、采样非线性\\
对关键结点，若能使MOS开关每次断开时的电压均相同，就只会引起一个恒定的直流误差，比较容易校正

\paragraph{时钟馈通}

MOS开关的栅极时钟信号经过寄生电容 $C_{\rm ov}$ 干扰 $C_{\rm H}$ 上的采样电压
$$
\Delta V = \frac{WC_{\rm ov}}{WC_{\rm ov} + C_{\rm H}} \cdot V_{\rm CK}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/MOS开关时钟馈通.pdf}
    \caption{MOS开关的时钟馈通效应}
    \label{fig:MOS开关的时钟馈通效应}
\end{figure}

\paragraph{补偿与抑制}

可以增加一个开关管$1/2$尺寸的附加管，且栅极接反相时钟，用来补偿电荷注入与时钟馈通\\
开关管向 $C_{\rm H}$ 注入的电荷量与 $V_{\rm in}$ 有关，并不是沟道电荷量的一半，因此并不能完全补偿电荷注入效应\\
开关管的 $C_{\rm gs}, C_{\rm gd}$ 与 $V_{\rm in}$ 有关，在 $V_{\rm in}$ 较大时两者差异较大，此时对时钟馈通的补偿较差

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/MOS开关精度校正1.pdf}
    \caption{用附加管补偿电荷注入与时钟馈通}
    \label{fig:MOS开关用附加管补偿电荷注入与时钟馈通}
\end{figure}

采用CMOS互补传输门也可一定程度上补偿电荷注入与时钟馈通，如图 \ref{fig:用互补开关补偿电荷注入与时钟馈通} 所示\\
NMOS与PMOS分别向 $C_{\rm H}$ 注入电子与空穴，若尺寸比合适就可以补偿电荷注入，但对不同 $V_{\rm in}$ 补偿效果不同\\
由于NMOS与PMOS的寄生电容不同，不能完全补偿时钟馈通效应

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/MOS开关精度校正2.pdf}
    \caption{用互补开关补偿电荷注入与时钟馈通}
    \label{fig:用互补开关补偿电荷注入与时钟馈通}
\end{figure}

若采用差动电路结构，则电荷注入与时钟馈通产生的误差大部分作为共模误差被抑制\\
但由于$V_{\rm in1}-V_{\rm in2}=V_{\rm in,DM}\ne 0$，电荷注入将形成部分差模误差，无法被完全抑制

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/MOS开关精度校正3.pdf}
    \caption{用差动电路抑制电荷注入与时钟馈通误差}
    \label{fig:用差动电路抑制电荷注入与时钟馈通误差}
\end{figure}

以上所有方案都无法完全补偿/抑制开关的电荷注入/时钟馈通\\
常利用特殊电路结构使关键节点的电荷注入量为恒定值，而与 $V_{\rm in}$ 无关，便于后级做校正

\subsection{单位增益采样}

利用开关、电容、缓冲器即可构成简单的单位增益采样器，但受限于电荷注入等非理想效应而精度不高\\
图 \ref{fig:开关电容单位增益采样器} 所示电路结构可避免非理想效应引入增益与非线性误差，仅引入直流偏置误差

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容单位增益采样器.pdf}
    \caption{开关电容单位增益采样器}
    \label{fig:开关电容单位增益采样器}
\end{figure}

由采样模式切换到放大模式按顺序经过以下步骤：
\begin{enum}
\item 在采样模式下，S1与S2导通而S3断路，此时 $X$ 结点为虚地，电容电压 $V_0 = V_{\rm in}$
\item S2断开，由于S2电压确定为0而与 $V_{\rm in}$ 无关，向X结点注入的电荷量恒定
\item 这之后X结点成为悬空结点，结点上的电荷量维持恒定
\item S1断开，随后S3闭合，运放通过 $C_{\rm H}$ 形成负反馈环路，X结点电压重新归于0 V
\end{enum}

采样模式与放大模式对比，X结点电压均为0 V，X结点电荷量变化为固定值（S2注入）\\
X结点的各对地寄生电容的两极板电压均不变，寄生电容电荷量不变\\
因此X结点总电荷量变化必定体现为 $C_{\rm H}$ 电荷量变化\\
$V_{\rm out}$ 由 $C_{\rm H}$ 电荷量决定，相比 $V_{\rm in}$ 仅有因 S2 注入而产生的直流偏置误差

\begin{quote}
    S1断开引发的电荷注入仅引发中间态X结点电压变化，而X结点电荷始终维持恒定\\
    在终态，运放负反馈使X结点电压重新归零，S1电荷注入对终态无任何影响
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容单位增益采样器S1注入对中间态与终态的影响.pdf}
    \caption{S1注入对中间态与终态的影响}
    \label{fig:S1注入对中间态与终态的影响}
\end{figure}

从S2断开到S1断开的过程中$V_{\rm in}$可能发生剧烈变化，但所采集到的电压是S2断开瞬间的电压\\
自X称为悬空结点起，所采集的电压已经固定，$V_{\rm in}$ 无法再影响X结点电荷

用图 \ref{fig:开关电容单位增益采样器} 所示电路即可生成单位增益采样器所需要的时钟序列

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容单位增益采样器的时钟生成.pdf}
    \caption{单位增益采样器的时钟生成电路}
    \label{fig:单位增益采样器的时钟生成电路}
\end{figure}
 
对于差动采样器，开关$\rm S_2, S_2^\prime$ 因失配而对两电容注入不等量的电荷，产生差模噪声\\
增加开关 $\rm S_{eq}$ 并相对 $\rm S_2, S_2^\prime$ 延迟断开，将失配产生的差模噪声转化为共模噪声

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容单位增益差动采样器.pdf}
    \caption{单位增益差动采样器}
    \label{fig:位增益差动采样器}
\end{figure}

\subsubsection{精度问题}
上述采样过程避免了采样开关电荷注入效应引发增益误差，只存在一个恒定的偏置误差\\
上述过程中认为所用运放是理想的，下面讨论运放有限增益对采样精度的影响

对图 \ref{fig:运放有限增益时的采样精度计算} 左所示采样模式，$V_{\rm out} = V_X=0$ 不受运放增益影响，
X点为理想虚地，$Q_X=-V_0C_{\rm H}$\\
对图 \ref{fig:运放有限增益时的采样精度计算} 右所示放大模式，受运放有限增益影响 X 点不是理想虚地
$$
\begin{aligned}
&Q_X = -V_0 C_{\rm H}\\
&Q_{C_{\rm in}} = V_X C_{\rm in}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
Q_{C_{\rm H}} = -(Q_X - Q_{C_{\rm in}}) = V_0C_{\rm H} + V_X C_{\rm in}
$$
由下式可解得运放有限增益时的采样值 $V_{\rm out}$
$$
\begin{aligned}
&Q_{C_{\rm H}} = V_0C_{\rm H} + V_X C_{\rm in} \\
&Q_{C_{\rm H}} = (V_{\rm out} - V_X) C_{\rm H} \\
&V_{\rm out}  = -A_{0} V_X
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
V_{\rm out } = V_0 \cdot \frac{1}{1+\dfrac{1}{A_0 \cdot C_{\rm H}/(C_{\rm in}+C_{\rm H})}}
$$
其中 $A_0 \cdot C_{\rm H}/(C_{\rm in} + C_{\rm H})$ 是放大模式的环路增益


\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容单位增益采样器运放有限增益.pdf}
    \caption{运放有限增益时的采样精度计算}
    \label{fig:运放有限增益时的采样精度计算}
\end{figure}

上述分析表明，运放增益有限使得环路增益有限，将在放大模式引入误差\\
$C_{\rm in}$ 越大则环路增益越小使误差越大

用于开关电容采样电路的运放必须面临 $A_0$ 与 $C_{\rm in}$ 的折中\\
为使 $A_0$ 增大需要使输入级 $g_{\rm m}$ 增大，这将增大输入级尺寸，使 $C_{\rm in}$ 增大 

\subsubsection{速度问题}

\paragraph{采样模式的速度}

采样模式下$\rm S_2$与运放等效为小信号电阻 $R_X$，并与S1和 $C_{\rm H}$ 串联到地，如图 \ref{fig:采样模式的速度计算} 所示\\
若运放等效跨导为 $G_{\rm m}$，输出电阻为 $R_0$ ，利用布莱克曼公式可计算 $R_X$ ，从而计算一阶RC响应速度
$$
\begin{aligned}
&R_X = \frac{R_0+R_{\rm on2}}{1+G_{\rm m}R_0} \approx \frac{1}{G_{\rm m}} \\
&\tau_{\rm samp} = (R_{\rm on1} + R_X) \cdot C_{\rm H} \approx \left(R_{\rm on} + \frac{1}{G_{\rm m}}\right) C_{\rm H}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容单位增益采样器的采样速度.pdf}
    \caption{采样模式的速度计算}
    \label{fig:采样模式的速度计算}
\end{figure}

\paragraph{放大模式的速度}

放大模式的时域响应如图 \ref{fig:放大模式的时域响应} 所示，考虑 $C_{\rm H}, C_{\rm L}, C_{\rm in}$ 三个电容\\
由于 $C_{\rm L}$ 很大使 $V_{\rm out}$ 不能突变，$C_{\rm H}$ 很大使其两端压降不能突变\\
$C_{\rm in}$ 相对较小，在刚进入放大模式时X点电压突变至$-V_0$，再由负反馈作用缓慢恢复为 $0$\\
在此过程中运放将发生压摆与小信号混合响应，简便起见先用线性响应模型近似分析响应过程

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容单位增益采样器的放大模式响应.pdf}
    \caption{放大模式的时域响应}
    \label{fig:放大模式的时域响应}
\end{figure}

放大模式的线性响应可用图 \ref{fig:放大模式的线性响应模型} 所示电路等效建模\\
将 $C_{\rm H}$ 右极板与输出端连接的过程等效为 $V_{\rm S}$ 由0阶跃的过程\\
则 $V_{\rm out}(s)/V_{\rm S}(s)$ 即为所需要的传递函数
$$
\begin{aligned}
    I &= V_{\rm out}\left(\frac{1}{R_0} + C_{\rm L}s\right) + G_{\rm m}V_X \\
    I &= (V_X + V_{\rm S} - V_{\rm out}) C_{\rm H}s \\
    I &= (0-V_X) C_{\rm in}s
\end{aligned}
$$
可以解得
$$
\begin{aligned}
\frac{V_{\text {out }}}{V_S}(s) 
& =R_0 \frac{\left(G_{\rm m}+C_{\text {in}} s\right) C_{\rm H}}{R_0\left(C_{\rm L} C_{\text {in }}+C_{\text {in }} C_{\rm H}+C_{\rm H} C_{\rm L}\right) s+G_{\rm m} R_0 C_{\rm H}+C_{\rm H}+C_{\text {in }}} \\
& \approx\frac{\left(G_{\rm m}+C_{\rm in} s\right) C_{\rm H}}{\left(C_{\rm L} C_{\rm in}+C_{\text {in }} C_{\rm H}+C_{\rm H} C_{\rm L}\right) s+G_{\rm m} C_{\rm H}} 
\end{aligned}
$$
由此可得放大模式线性响应的时间常数
$$
\tau_{\text {amp }} 
\approx\frac{C_{\rm L} C_{\text {in }}+C_{\rm in} C_{\rm H}+C_{\rm H} C_{\rm L}}{G_{\rm m} C_{\rm H}}
=\frac{1}{G_{\rm m}}\left[C_{\text {in }}+\left(1+\frac{C_{\text {in }}}{C_{\rm H}}\right) C_{\rm L}\right]
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容采样器的放大模式线性响应模型.pdf}
    \caption{放大模式的线性响应模型}
    \label{fig:放大模式的线性响应模型}
\end{figure}

在 $C_{\rm L }=0$ 时 $\tau_{\rm amp} = C_{\rm in}/G_{\rm m}$，这时可理解为 $1/G_{\rm m}$ 与 $C_{\rm in}$ 串联\\
在 $C_{\rm in}=0$ 时 $\tau_{\rm amp} = C_{\rm L }/G_{\rm m}$，这时可理解为 $1/G_{\rm m}$ 与 $C_{\rm L }$ 串联

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容采样器的放大模式线性响应可忽略电容.pdf}
    \caption{可忽略 $C_{\rm in}$ 或 $C_{\rm L}$ 时的放大模式线性响应}
    \label{fig:开关电容采样器的放大模式线性响应可忽略电容}
\end{figure}

\subsubsection{下极板采样}

悬空结点X的寄生电容 $C_{\rm in}$ 会劣化放大模式的精度与速度，需要尽力减小 $C_{\rm in}$ 的值\\
$C_{\rm in}$ 来源于运放输入电容以及 $C_{\rm H}$ 极板的对地寄生电容\\
为减小 $C_{\rm H}$ 极板的对地寄生电容，应使悬空节点X侧的极板远离衬底作上极板，而将信号源 $V_{\rm in}$ 连接下极板

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/下极板采样.pdf}
    \caption{下极板采样}
    \label{fig:下极板采样}
\end{figure}

下极板采样不仅可以减小悬空结点X的对地寄生电容 $C_{\rm in}$ 从而提高放大模式的速度与精度\\
还可以尽量避免衬底噪声干扰悬空结点X，进一步提高采样器精度

\subsection{同相放大器}

开关电容同相放大器如图 \ref{fig:开关电容同相放大器及其采样与放大模式} 所示\\
与单位增益采样电路类似，先断开 $\rm S_2$ 使电荷注入量与 $V_{\rm in}$ 无关\\
再断开$\rm S_1$并导通$\rm S_3$，在反馈的作用下 $C_1$ 两端压差变为0，$C_1$ 上采集到的电荷全部转移到 $C_2$ 上
$$
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}} = \frac{C_1}{C_2}
$$
S1的电荷注入只影响中间态，不影响终态

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容同相放大器及其采样与放大模式.pdf}
    \caption{开关电容同相放大器及其采样与放大模式}
    \label{fig:开关电容同相放大器及其采样与放大模式}
\end{figure}

$\rm S_2$的电荷注入与 $V_{\rm in}$ 无关，只表现为恒定的直流偏置误差\\
可以采用差分电路，将$\rm S_2$的电荷注入转化为共模噪声并抑制，如图 \ref{fig:开关电容同相放大器的差动实现} 所示\\
同样需引入补偿开关 $\rm S_{eq}$ 将 $\rm S_2, S_2'$ 失配引起的电荷注入差模噪声转化为共模噪声，$\rm S_{eq}$略滞后于$\rm S_2$断开

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容同相放大器的差动实现.pdf}
    \caption{开关电容同相放大器的差动实现}
    \label{fig:开关电容同相放大器的差动实现}
\end{figure}

\begin{quote}
    虽然从连接关系上看此电路类似反相放大器，但从 $V_{\rm in}$ 与 $V_{\rm out}$ 的极性看，这是一个同相放大器\\
    若自进入放大模式的瞬间看，相当于$V_{\rm in}$突变至0，从$\Delta V$的角度类似反相放大器，
    如图 \ref{fig:开关电容同相放大器及其采样与放大模式} 下
\end{quote}

\subsection{精确倍乘电路}

上述同相放大器可以实现较大的闭环增益，但由于反馈系数小，使电路的速度与精度较差\\
图 \ref{fig:精确倍乘电路及其采样与放大模式} 所示电路可实现更好的速度与精度性能，但其增益恒定为2倍，其中 $C_1=C_2=C$\\

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/精确倍乘电路及其采样与放大模式.pdf}
    \caption{精确倍乘电路及其采样与放大模式}
    \label{fig:精确倍乘电路及其采样与放大模式}
\end{figure}

精确倍乘电路从采样模式转化为放大模式的流程如图 \ref{fig:精确倍乘电路的工作流程} 所示\\
采样模式下 $C_1, C_2$ 并联，采得等量的电荷\\
放大模式下 $C_1$ 跨接在运放两端，且 $C_2$ 中的全部电荷转移到 $C_1$ 中，从而实现电压倍乘

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/精确倍乘电路的工作流程.pdf}
    \caption{精确倍乘电路从采样模式切换为放大模式的流程}
    \label{fig:精确倍乘电路的工作流程}
\end{figure}

电路有唯一的悬空结点X，只有$\rm S_3$ 会向X注入与 $V_{\rm in}$ 无关的恒定量电荷，引起恒定的直流偏置误差\\
可以采用差分电路来将其转化为共模噪声并抑制

精确倍乘电路在实现2倍闭环增益时相比其它电路具有更大的反馈系数，使其能够实现更高的精度与速度\\
且所用电容是$1:1$完全匹配的，连接关系也更相似，从制造工艺的角度失配更小

\subsection{离散时间积分器}

\subsubsection{开关电容等效电阻}

由电容与两个开关形成的结构可在两电路节点间传递电荷，与电阻上电流的作用相似\\
若开关周期为 $f_{\rm CK}$，电容值为 $C_{\rm S}$，则平均电流与等效电阻为：
$$
\bar I = \frac{C_{\rm S}(V_{\rm A} - V_{\rm B})}{T_{\rm CK}} = C_{\rm S} f_{\rm CK} (V_{\rm A}-V_{\rm B})
\qquad\Longrightarrow\qquad 
R_{\rm eq} = \frac{V_{\rm A} - V_{\rm B}}{\bar I} = \frac{1}{C_{\rm S}f_{\rm CK}}
$$
注意离散时间等效电阻 $R_{\rm eq}$ 表达式分母上是频率 $f_{\rm CK}$ 而不是角频率

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容等效电阻.pdf}
    \caption{开关电容等效电阻}
    \label{fig:开关电容等效电阻}
\end{figure}

\subsubsection{离散时间积分器}

用开关电容等效电阻来代替一般积分器的电阻，就可得到图 \ref{fig:简单的离散时间积分器} 所示离散时间积分器\\
每次进入放大模式，负反馈使X结点为虚地，$C_1$ 上采样到的全部电荷转移到 $C_2$ 上，起积分作用
$$
V_{\rm out}[kT] = V_{\rm out}[(k-1)T] \color{blue} - \color{black} V_{\rm in}[(k-1)T] \cdot \frac{C_1}{C_2}
$$
注意，这个积分器是反相的

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/离散时间积分器.pdf}
    \caption{简单的离散时间积分器及其恒定输入响应}
    \label{fig:简单的离散时间积分器}
\end{figure}

上述离散时间积分器具有很大的非线性
\begin{enum}
\item 采样开关 $\rm S_1$ 的电荷注入与 $V_{\rm in}$ 有关，引入增益非线性误差
\item $\rm S_1, S_2$ 的非线性结电容使电容值具有非线性
\end{enum}

\begin{quote}
    $\rm S_2$ 沟通两侧的悬空结点，电荷吸收与注入效应不会引入非线性误差\\
    其导通后的吸收的沟道电荷在稳态下为定值，因为X结点在稳态下为虚地\\
    在 $\rm S_2$ 断开时其向两侧注入的电荷也是固定值
\end{quote}

图 \ref{fig:改进的离散时间积分器} 所示积分器电路解决了上述非线性误差问题\\
首先断开 $\rm S_3$ 营造悬空结点，之后$\rm S_1$断开，$\rm S_2, S_4$ 闭合，进入放大状态
\begin{enum}
    \item $\rm S_3$ 的电荷注入量为确定值
    \item $\rm S_4$ 的电荷吸收量在稳态为确定值
    \item $\rm S_1, S_2$ 的电荷注入与吸收无影响
    \item 稳态下X点为虚地，$\rm S_3, S_4$ 的结电容为定值
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/离散时间积分器2.pdf}
    \caption{改进的离散时间积分器}
    \label{fig:改进的离散时间积分器}
\end{figure}

\subsection{开关电容共模反馈}

用开关电容可实现共模反馈，但需要周期性刷新，且刷新（复位）模式下可能无法正常放大差模信号\\
刷新完毕后进入正常的差模放大模式，由电容检测 $V_{\rm out,CM}$ 的波动并做反馈

图 \ref{fig:开关电容共模反馈1} 展示了一种简单的开关电容共模反馈电路\\
在复位模式下用一对差动源跟随器来检测 $V_{\rm out,CM}$ 并给电容充电，在放大模式下用电容来检测 $V_{\rm out,CM}$ 的波动\\
在复位模式下，要求 $V_{\rm in,DM}=0$ 从而 $V_{\rm out,DM}=0$ 使 $\rm M_6,M_7$ 不会因差模输出摆动过大而进入线性区\\
在放大模式下，巨大的 $V_{\rm out,DM}$ 可能使 $\rm M_6, M_7$ 工作不正常，但此时 $\rm S_1$ 断路不会影响电路的正常放大\\
此电路的 $V_{\rm out,CM}$ 在复位模式就可达到预期$V_{\rm out,CM} = V_{\rm GS5} + V_{\rm GS6,7}$

图 \ref{fig:开关电容共模反馈2} 展示了一种更精确的开关电容共模反馈电路\\
在复位模式下 $\rm S_1,S_4,S_5$ 导通，电路不做共模反馈，将 $M_5$ 偏置到预设值 $V_{\rm GS6}$\\
在切换到放大模式的瞬间，$V_{\rm out,CM}$ 相对 $V_{\rm CM}$ 的偏差经电容反馈给 $\rm M_5$，使 $V_{\rm out,CM}$ 回归期望值\\
由于电容两端压差不变，可知 $V_{\rm GS5} - V_{\rm GS6} = V_{\rm out,CM} - V_{\rm CM}$，
从而 $V_{\rm out,CM} = V_{\rm CM} + (V_{\rm GS5} - V_{\rm GS6})$\\
其中 $V_{\rm GS5} - V_{\rm GS6}$ 由电路从 $\rm M_5$ 到 $V_{\rm out,CM}$ 的增益决定

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \ffigbox[\FBwidth]{
        \begin{subfloatrow}
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{简单的开关电容共模反馈}}{
                \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容共模反馈1.pdf}
                \label{fig:开关电容共模反馈1}
            }
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{精确的开关电容共模反馈}}{
                \includegraphics[scale=\myfigscaleratio]{figures/开关电容共模反馈2.pdf}
                \label{fig:开关电容共模反馈2}
            }
        \end{subfloatrow}
    }{
    \caption{开关电容共模反馈电路}
    \label{fig:开关电容共模反馈电路}
    }
\end{figure}

在 $V_{\rm out,DM}$ 较大时，共模反馈环路的速度将影响 $V_{\rm out,DM}$ 的稳定\\
可以使尾电流源由多管并联组成，而只用其中一个做共模反馈，从而提高共模反馈速度


\renewcommand{\myfigscaleratio}{1.20}

